Cinématique du point

Le cours

1. Introduction à la cinématique

La cinématique est la branche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps sans considérer les causes qui le produisent. Elle permet de décrire mathématiquement comment un objet se déplace dans l'espace en fonction du temps. En Côte d'Ivoire, cette discipline trouve des applications dans l'analyse des mouvements sportifs, l'étude du trafic routier sur l'autoroute du Nord, et l'optimisation des processus industriels dans les usines de transformation de cacao.

2. Système de référence et repère

Pour décrire un mouvement, on a besoin d'un référentiel (solide de référence considéré comme fixe) et d'un repère (système de coordonnées). En physique, on utilise souvent le référentiel terrestre pour les mouvements à la surface de la Terre. Le repère cartésien est défini par une origine O et trois axes orthonormés (Ox, Oy, Oz).

3. Vecteur position

Le vecteur position $\\overrightarrow{OM}(t)$ indique la position d'un point M à l'instant t par rapport à l'origine O du repère. Dans le plan (Oxy), il s'exprime : $\\overrightarrow{OM}(t) = x(t)\\overrightarrow{i} + y(t)\\overrightarrow{j}$

Description du schéma 1: Représentation du vecteur position dans un plan Représenter un repère orthonormé (O, x, y) avec l'axe horizontal Ox et l'axe vertical Oy. Placer un point M à des coordonnées (x, y). Tracer le vecteur position $\\overrightarrow{OM}$ depuis l'origine O jusqu'au point M. Ajouter les composantes x et y projetées sur les axes. Indiquer l'angle θ que fait le vecteur avec l'axe Ox. Légender: "O: origine du repère", "M: position du mobile", "$\\overrightarrow{OM}$: vecteur position", "x: abscisse", "y: ordonnée".

4. Vecteur vitesse

La vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : $\\overrightarrow{v}(t) = \\frac{d\\overrightarrow{OM}}{dt} = \\frac{dx}{dt}\\overrightarrow{i} + \\frac{dy}{dt}\\overrightarrow{j}$

Sa norme est : $v = \\sqrt{\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^2 + \\left(\\frac{dy}{dt}\\right)^2}$

La direction du vecteur vitesse est tangente à la trajectoire.

5. Vecteur accélération

L'accélération instantanée est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps : $\\overrightarrow{a}(t) = \\frac{d\\overrightarrow{v}}{dt} = \\frac{d^2\\overrightarrow{OM}}{dt^2} = \\frac{d^2x}{dt^2}\\overrightarrow{i} + \\frac{d^2y}{dt^2}\\overrightarrow{j}$

L'accélération peut se décomposer en deux composantes : - Accélération tangentielle $a_t$ : suivant la tangente à la trajectoire - Accélération normale $a_n$ : suivant la normale à la trajectoire, dirigée vers le centre de courbure

6. Mouvement rectiligne uniforme (MRU)

Un mobile a un mouvement rectiligne uniforme si sa trajectoire est une droite et sa vitesse est constante.

Équations horaires : $x(t) = v_0 \\cdot t + x_0$ $v(t) = v_0 = \\text{constante}$ $a(t) = 0$

Exemple : Une voiture roulant à vitesse constante sur la route Abidjan-Yamoussoukro.

Description du schéma 2: Graphiques du mouvement rectiligne uniforme Représenter trois graphiques alignés verticalement. Premier graphique: position x en fonction du temps t, montrer une droite croissante de pente v0. Deuxième graphique: vitesse v en fonction du temps t, montrer une droite horizontale à la valeur v0. Troisième graphique: accélération a en fonction du temps t, montrer une droite horizontale à zéro. Ajouter les légendes: "x(t) = v0·t + x0", "v(t) = v0 = constante", "a(t) = 0".

7. Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)

Un mobile a un mouvement rectiligne uniformément varié si sa trajectoire est une droite et son accélération est constante.

Équations horaires : $x(t) = \\frac{1}{2} a \\cdot t^2 + v_0 \\cdot t + x_0$ $v(t) = a \\cdot t + v_0$ $a(t) = a = \\text{constante}$

Relation utile : $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$

Exemple : Un camion transportant du cacao qui accélère ou freine uniformément.

8. Mouvement circulaire uniforme (MCU)

Un mobile a un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est un cercle et sa vitesse angulaire est constante.

Équations horaires (coordonnées polaires) : $\\theta(t) = \\omega \\cdot t + \\theta_0$ $s(t) = R \\cdot \\theta(t) = R\\omega t + s_0$ (avec s : abscisse curviligne)

Relations : $v = R\\omega$ (vitesse linéaire) $a_n = \\frac{v^2}{R} = R\\omega^2$ (accélération normale centripète) $a_t = 0$ (accélération tangentielle nulle)

Description du schéma 3: Mouvement circulaire uniforme Représenter un cercle de centre O et de rayon R. Placer un point M sur le cercle avec sa position angulaire θ. Tracer le vecteur vitesse $\\overrightarrow{v}$ tangent au cercle au point M. Tracer le vecteur accélération normale $\\overrightarrow{a_n}$ dirigé vers le centre O. Indiquer le rayon R et l'angle θ. Ajouter la flèche circulaire montrant le sens de rotation. Légender: "O: centre du cercle", "R: rayon", "$\\overrightarrow{v}$: vecteur vitesse tangentiel", "$\\overrightarrow{a_n}$: accélération normale centripète", "θ: angle polaire".

9. Exploitation d'un enregistrement

En TP, on peut utiliser des enregistrements (chronophotographie, capteurs) pour étudier le mouvement. On mesure les positions successives à intervalles de temps réguliers Δt. La vitesse instantanée au point M_i peut être approximée par : $v_i \\approx \\frac{M_{i+1}M_{i-1}}{2\\Delta t}$

10. Applications en contexte ivoirien

• Analyse du mouvement des engins agricoles dans les plantations
• Étude de la circulation sur le pont Houphouët-Boigny à Abidjan
• Optimisation des trajectoires dans les mines de fer du Mont Nimba
• Analyse sportive pour les athlètes ivoiriens