Circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé

Le cours

1. Introduction aux régimes sinusoïdaux forcés

Un circuit RLC soumis à une tension alternative sinusoïdale présente un comportement particulier dépendant de la fréquence. En Côte d'Ivoire, ces principes sont cruciaux pour optimiser le transport de l'électricité sur de longues distances depuis les barrages du Sud-Ouest vers les villes du Nord, pour concevoir des filtres électriques dans l'industrie, et pour comprendre le fonctionnement des appareils électroniques qui équipent de plus en plus les foyers et les entreprises.

2. Courant alternatif sinusoïdal

2.1. Définition

Un courant est alternatif sinusoïdal si son intensité instantanée est une fonction sinusoïdale du temps : \( i(t) = I_m \\cos(\\omega t + \\varphi_i) \)

2.2. Grandeurs caractéristiques

• Amplitude I_m : valeur maximale
• Pulsation ω : \( \\omega = 2\\pi f = \\frac{2\\pi}{T} \)
• Phase à l'origine φ_i
• Valeur efficace I : \( I = \\frac{I_m}{\\sqrt{2}} \)

2.3. Tension alternative

De même : \( u(t) = U_m \\cos(\\omega t + \\varphi_u) \)

3. Dipôle RLC série

3.1. Constitution

Association en série d'une résistance R, d'une bobine d'inductance L et de résistance interne r (souvent incluse dans R), et d'un condensateur de capacité C.

3.2. Impédance complexe

Chaque composant a une impédance complexe : - Résistance : Z_R = R - Bobine : Z_L = jLω - Condensateur : Z_C = 1/(jCω) = -j/(Cω)

Impédance totale : \( Z = R + j(L\\omega - \\frac{1}{C\\omega}) \)

4. Diagramme de Fresnel

4.1. Principe

Méthode graphique pour représenter les tensions et courants sinusoïdaux comme des vecteurs tournants.

4.2. Construction

1. Choisir une origine des phases (souvent le courant i)
2. Représenter chaque tension par un vecteur : - U_R en phase avec I - U_L en avance de π/2 sur I - U_C en retard de π/2 sur I
3. La somme vectorielle donne la tension totale U

4.3. Triangle des impédances

On peut aussi construire un triangle semblable avec R, X_L = Lω, X_C = 1/(Cω)

Description du schéma 1: Diagramme de Fresnel pour un circuit RLC série Représenter un plan avec origine O. Tracer : - Vecteur I horizontal (origine des phases) - Vecteur U_R sur le même axe (même direction) - Vecteur U_L vertical vers le haut (avance de 90°) - Vecteur U_C vertical vers le bas (retard de 90°) - Somme vectorielle U = U_R + U_L + U_C - Angle φ entre U et I Légender : "U_R en phase avec I", "U_L avance de 90°", "U_C retarde de 90°", "φ = φ_u - φ_i"

5. Impédance et déphasage

5.1. Module de l'impédance

\( Z = \\frac{U}{I} = \\sqrt{R^2 + (L\\omega - \\frac{1}{C\\omega})^2} \)

5.2. Déphasage tension-courant

\( \\tan\\varphi = \\frac{L\\omega - \\frac{1}{C\\omega}}{R} \) \( \\cos\\varphi = \\frac{R}{Z} \) (facteur de puissance) \( \\sin\\varphi = \\frac{L\\omega - \\frac{1}{C\\omega}}{Z} \)

5.3. Cas particuliers

• Si Lω > 1/(Cω) : φ > 0, tension en avance (circuit inductif)
• Si Lω < 1/(Cω) : φ < 0, tension en retard (circuit capacitif)
• Si Lω = 1/(Cω) : φ = 0, tension en phase (résonance)

6. Relations efficaces

6.1. Tensions efficaces

\( U = Z I \) \( U_R = R I \) \( U_L = L\\omega I \) \( U_C = \\frac{1}{C\\omega} I \)

6.2. Relation entre tensions

\( U^2 = U_R^2 + (U_L - U_C)^2 \)

7. Applications en contexte ivoirien

7.1. Transport d'énergie

Compensation du facteur de puissance pour réduire les pertes en ligne.

7.2. Filtres électriques

Sélection de fréquences dans les équipements électroniques.

7.3. Installation électrique

Dimensionnement correct des circuits pour la sécurité.

8. Exercice guidé : analyse d'un circuit

Un circuit RLC série avec R=100 Ω, L=0,2 H, C=10 μF est alimenté par u(t)=220√2 cos(314t).

1. Calculer les réactances.
2. Calculer l'impédance Z.
3. Calculer le déphasage φ.
4. Calculer l'intensité efficace I.
5. Calculer les tensions efficaces aux bornes de chaque composant.
6. Vérifier la relation entre tensions.
7. Représenter le diagramme de Fresnel.

Solution : 1. X_L = Lω = 0,2×314 = 62,8 Ω X_C = 1/(Cω) = 1/(10×10⁻⁶×314) = 318,5 Ω 2. Z = √[R² + (X_L - X_C)²] = √[10000 + (62,8-318,5)²] = √[10000 + (-255,7)²] = √[10000 + 65382] = √75382 ≈ 274,6 Ω 3. tanφ = (X_L - X_C)/R = -255,7/100 = -2,557 ⇒ φ ≈ -68,7° (tension en retard) 4. I = U/Z = 220/274,6 ≈ 0,801 A 5. U_R = RI = 100×0,801 = 80,1 V U_L = X_L I = 62,8×0,801 = 50,3 V U_C = X_C I = 318,5×0,801 = 255,1 V 6. U² = 220² = 48400 U_R² + (U_L - U_C)² = 80,1² + (50,3-255,1)² = 6416 + (-204,8)² = 6416 + 41943 = 48359 ≈ 48400 ✓ 7. Diagramme : I horizontal, U_R même direction, U_L vers le haut, U_C vers le bas (plus long), U résultante avec φ négatif.