Suites numériques

Le cours

1. Rappels et modes de définition d'une suite\n\nDéfinition : Une suite numérique est une fonction définie sur $\\mathbb{N}$ (ou une partie de $\\mathbb{N}$) à valeurs dans $\\mathbb{R}$. On note $(u_n)_{n \\in \\mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$.\n\nDéfinition explicite : $u_n$ est donné directement en fonction de $n$ : $u_n = f(n)$.\nEx : $u_n = 2n + 1$.\n\nDéfinition par récurrence : On donne $u_0$ (ou $u_1$) et une relation liant $u_{n+1}$ à $u_n$ (ou aux termes précédents).\nEx : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$.\n\n## 2. Sens de variation d'une suite\n\nUne suite $(u_n)$ est :\n- croissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \\geq u_n$ ;\n- strictement croissante si $u_{n+1} > u_n$ ;\n- décroissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \\leq u_n$ ;\n- strictement décroissante si $u_{n+1} < u_n$.\n\nMéthodes pour étudier les variations :\n1. Signe de $u_{n+1} - u_n$.\n2. Si $u_n = f(n)$ avec $f$ définie sur $[0, +\\infty[$, étudier les variations de $f$ (car si $f$ est croissante, $(u_n)$ l'est).\n3. Pour une suite à termes strictement positifs, comparer $\\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.\n\n## 3. Suites majorées, minorées, bornées\n\n- Majorée : Il existe $M \\in \\mathbb{R}$ tel que pour tout $n$, $u_n \\leq M$. $M$ est un majorant.\n- Minorée : Il existe $m \\in \\mathbb{R}$ tel que pour tout $n$, $u_n \\geq m$. $m$ est un minorant.\n- Bornée : Elle est à la fois majorée et minorée.\n\n## 4. Limite d'une suite\n\nDéfinition intuitive : On dit que la suite $(u_n)$ a pour limite le réel $l$ si, lorsque $n$ devient très grand, $u_n$ se rapproche aussi près que l'on veut de $l$. Notation : $\\lim_{n \\to +\\infty} u_n = l$. On dit qu'elle converge vers $l$.\n\nDivergence : Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Elle peut diverger vers $+\\infty$, vers $-\\infty$, ou n'avoir pas de limite (ex : $(-1)^n$).\n\nThéorème d'unicité : Si une suite converge, sa limite est unique.\n\n## 5. Liens entre suites et fonctions\n\nSi $u_n = f(n)$ et si $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = l$ (réel ou infini), alors $\\lim_{n \\to +\\infty} u_n = l$.\n\nThéorème (limite d'une suite définie par récurrence) : Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite à valeurs dans $I$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$. Si $(u_n)$ converge vers $l$, alors $l$ est une solution de l'équation $f(l)=l$ (un point fixe de $f$).\n\nmathgraph\n{\n "type": "sequence",\n "title": "Suite convergente et point fixe",\n "sequence": {\n "expression": "0.5^n",\n "nRange": [0, 10],\n "color": "#8884d8",\n "label": "uₙ = 0.5ⁿ",\n "points": true\n },\n "xRange": [0, 10],\n "yRange": [0, 1.2],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "constant": { "value": 0, "color": "#ff7300", "name": "limite l=0", "lineStyle": "dashed" }\n}\n\n\n## 6. Convergence des suites monotones (Théorèmes fondamentaux)\n\nThéorème 1 : Toute suite croissante et majorée est convergente.\nThéorème 2 : Toute suite décroissante et minorée est convergente.\n\nConséquence pour les suites monotones non bornées :\n- Toute suite croissante non majorée a pour limite $+\\infty$.\n- Toute suite décroissante non minorée a pour limite $-\\infty$.\n\nCes théorèmes sont très puissants pour prouver l'existence d'une limite.\n\n## 7. Suites arithmétiques et géométriques\n\nSuite arithmétique : Il existe un réel $r$ (raison) tel que $u_{n+1} = u_n + r$.\n- Formule explicite : $u_n = u_0 + n r$.\n- Sens de variation : dépend du signe de $r$.\n- Limite en $+\\infty$ : $+\\infty$ si $r>0$, $-\\infty$ si $r<0$, constante si $r=0$.\n\nSuite géométrique : Il existe un réel $q$ (raison) tel que $u_{n+1} = q \\cdot u_n$.\n- Formule explicite : $u_n = u_0 \\times q^n$.\n- Sens de variation : dépend de $u_0$ et $q$.\n- Limite en $+\\infty$ :\n * Si $|q| < 1$, $\\lim u_n = 0$.\n * Si $q > 1$ et $u_0>0$, $\\lim u_n = +\\infty$.\n * Si $q = 1$, constante.\n * Si $q \\leq -1$, pas de limite (sauf cas particulier).\n\n## 8. Résolution de la situation d'apprentissage\n\nModélisation :\n- Capital initial : $C_0 = 300\\,000$ FCFA.\n- Option 1 (intérêts simples) : Augmentation fixe de 2 500 FCFA par mois.\n Il s'agit d'une suite arithmétique de raison $r=2500$.\n $C_n^{(1)} = 300\\,000 + 2500n$.\n- Option 2 (intérêts composés à 5%) : Augmentation de 5% chaque mois.\n Il s'agit d'une suite géométrique de raison $q = 1 + \\frac{5}{100} = 1.05$.\n $C_n^{(2)} = 300\\,000 \\times (1.05)^n$.\n\nObjectif : Atteindre au moins 400 000 FCFA au 7ème mois ($n=7$).\n\n- Pour l'option 1 : $C_7^{(1)} = 300\\,000 + 2500 \\times 7 = 300\\,000 + 17\\,500 = 317\\,500$.\n C'est inférieur à 400 000.\n\n- Pour l'option 2 : $C_7^{(2)} = 300\\,000 \\times (1.05)^7$.\n Calcul : $1.05^7 \\approx 1.4071$ (avec calculatrice).\n $C_7^{(2)} \\approx 300\\,000 \\times 1.4071 = 422\\,130$.\n C'est supérieur à 400 000.\n\nConclusion : Seule l'option 2 permet d'atteindre l'objectif de 400 000 FCFA au 7ème mois.\n\nRecherche du mois où l'option 2 dépasse 400 000 :\nOn cherche $n$ tel que $300\\,000 \\times 1.05^n \\geq 400\\,000$.\n$1.05^n \\geq \\frac{400}{300} = \\frac{4}{3}$.\n$n \\ln(1.05) \\geq \\ln(\\frac{4}{3})$\n$n \\geq \\frac{\\ln(4/3)}{\\ln(1.05)} \\approx \\frac{0.2877}{0.04879} \\approx 5.89$.\nLe plus petit entier est $n=6$.\nDonc avec l'option 2, le capital dépasse 400 000 FCFA dès le 6ème mois.