Statistiques à deux variables

Le cours

1. Série statistique à deux variables\n\nOn étudie simultanément deux caractères quantitatifs $X$ et $Y$ sur une même population.\nLes données sont des couples $(x_i, y_i)$ pour $i=1,...,n$, où $n$ est l'effectif total.\n\nExemple : Étudier la relation entre le budget publicitaire ($X$, en millions FCFA) et le chiffre d'affaires ($Y$, en millions FCFA) pour $n=6$ entreprises.\n\nTableau à double entrée : Lorsque les variables sont discrètes et prennent peu de valeurs, on peut présenter les effectifs conjoints dans un tableau à double entrée. Sinon, on liste simplement les couples.\n\nSéries marginales : Ce sont les séries statistiques simples de $X$ et de $Y$ obtenues en ne considérant qu'une seule variable. On calcule leurs moyennes et écarts-types.\n\n## 2. Représentation graphique : le nuage de points\n\nDans un repère orthogonal, on place les points $M_i$ de coordonnées $(x_i, y_i)$. L'ensemble de ces points forme le nuage de points.\n\nPoint moyen : Le point $G$ de coordonnées $(\\overline{x}, \\overline{y})$, où $\\overline{x}$ et $\\overline{y}$ sont les moyennes marginales de $X$ et $Y$.\n$$\\overline{x} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} x_i \\quad \\text{et} \\quad \\overline{y} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} y_i$$\nLe point moyen est le "centre de gravité" du nuage.\n\nmathgraph\n{\n "type": "points",\n "title": "Nuage de points et point moyen G",\n "xRange": [0, 7],\n "yRange": [80, 250],\n "points": [\n { "x": 1, "y": 99, "label": "M1" },\n { "x": 2, "y": 130, "label": "M2" },\n { "x": 3, "y": 92, "label": "M3" },\n { "x": 4, "y": 108, "label": "M4" },\n { "x": 5, "y": 232, "label": "M5" },\n { "x": 6, "y": 150, "label": "M6" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Rang de l'année",\n "yLabel": "Chiffre d'affaires (millions FCFA)",\n "meanPoint": { "x": 3.5, "y": (99+130+92+108+232+150)/6, "color": "#ff0000", "label": "G", "size": 8 }\n}\n\n(Les données sont celles de la situation d'apprentissage : années 2013-2018)\n\n## 3. Covariance\n\nLa covariance mesure la façon dont les variables $X$ et $Y$ varient conjointement.\n\nDéfinition :\n$$\\text{Cov}(X,Y) = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} (x_i - \\overline{x})(y_i - \\overline{y})$$\n\nFormule de calcul pratique (König-Huygens) :\n$$\\text{Cov}(X,Y) = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \\overline{x} \\, \\overline{y}$$\n\nInterprétation du signe :\n- Si $\\text{Cov} > 0$ : tendance à la croissance conjointe (quand $X$ augmente, $Y$ tend à augmenter).\n- Si $\\text{Cov} < 0$ : tendance inverse (quand $X$ augmente, $Y$ tend à diminuer).\n- Si $\\text{Cov} \\approx 0$ : pas de liaison linéaire apparente.\n\n## 4. Coefficient de corrélation linéaire\n\nIl mesure l'intensité de la liaison linéaire entre $X$ et $Y$, indépendamment des unités.\n\nDéfinition :\n$$r = \\frac{\\text{Cov}(X,Y)}{\\sigma_X \\, \\sigma_Y}$$\noù $\\sigma_X$ et $\\sigma_Y$ sont les écarts-types des séries marginales.\n\nPropriétés :\n- $-1 \\leq r \\leq 1$.\n- $|r| \\approx 1$ : liaison linéaire forte. $r$ proche de $1$ : corrélation positive, $r$ proche de $-1$ : corrélation négative.\n- $|r| \\approx 0$ : absence de corrélation linéaire (mais il peut y avoir une autre liaison).\n\n## 5. Ajustement affine : Droite des moindres carrés\n\nLorsque le nuage semble aligné, on cherche la droite qui "passe au plus près" de tous les points, au sens des moindres carrés.\n\nDroite de régression de $y$ en $x$ : On prédit $y$ à partir de $x$. Son équation est $y = a x + b$, avec :\n$$a = \\frac{\\text{Cov}(X,Y)}{\\sigma_X^2} = \\frac{\\text{Cov}(X,Y)}{\\text{Var}(X)} \\quad \\text{et} \\quad b = \\overline{y} - a \\overline{x}$$\nCette droite passe par le point moyen $G$.\n\nRemarque : Il existe aussi la droite de régression de $x$ en $y$ (pour prédire $x$ à partir de $y$), mais elle n'a pas la même équation, sauf si $|r|=1$.\n\n## 6. Utilisation pour l'estimation et la prévision\n\nUne fois la droite d'ajustement déterminée, on peut :\n- Estimer une valeur de $Y$ pour une valeur de $X$ comprise dans l'intervalle des données (interpolation).\n- Prévoir une valeur de $Y$ pour une valeur de $X$ en dehors de cet intervalle (extrapolation). Attention : L'extrapolation est risquée, car la relation linéaire observée peut ne pas se prolonger.\n\n## 7. Exemple de calcul complet (sur les données de la situation)\n\nDonnées : $n=6$\n| Rang $x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |\n|------------|---|---|---|---|---|---|\n| CA $y_i$ (millions) | 99 | 130 | 92 | 108 | 232 | 150 |\n\n1. Point moyen :\n$\\overline{x} = \\frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \\frac{21}{6} = 3.5$\n$\\overline{y} = \\frac{99+130+92+108+232+150}{6} = \\frac{811}{6} \\approx 135.167$\n\n2. Covariance : On calcule $\\sum x_i y_i = 1\\times99 + 2\\times130 + ... + 6\\times150 = 99+260+276+432+1160+900 = 3127$.\n$\\text{Cov} = \\frac{3127}{6} - 3.5 \\times 135.167 \\approx 521.167 - 473.0845 = 48.0825$.\n\n3. Variance de $X$ : $\\sigma_X^2 = \\frac{1^2+2^2+...+6^2}{6} - (3.5)^2 = \\frac{91}{6} - 12.25 \\approx 15.1667 - 12.25 = 2.9167$.\n\n4. Coefficient $a$ et $b$ :\n$a = \\frac{\\text{Cov}}{\\sigma_X^2} = \\frac{48.0825}{2.9167} \\approx 16.485$.\n$b = \\overline{y} - a \\overline{x} = 135.167 - 16.485 \\times 3.5 \\approx 135.167 - 57.6975 = 77.4695$.\n\nDroite d'ajustement : $y \\approx 16.485 x + 77.47$.\n\n5. Prévision pour 2030 :\nPour l'année 2030, le rang est $2030 - 2012 = 18$ (si 2013 est le rang 1).\n$y \\approx 16.485 \\times 18 + 77.47 \\approx 296.73 + 77.47 = 374.2$.\nSelon ce modèle linéaire, le chiffre d'affaires prévu pour 2030 serait d'environ 374 millions de FCFA.\n\n## 8. Mise en garde et analyse critique\n\n- La corrélation n'implique pas la causalité.\n- Un ajustement linéaire n'est valable que si le nuage est vraiment allongé.\n- Il faut toujours calculer et interpréter le coefficient $r$. Ici, on trouve $r \\approx 0.65$ (calcul non détaillé), ce qui indique une corrélation positive modérée, mais pas très forte. La prévision doit être prise avec prudence.