Équations différentielles

Le cours

1. Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?\n\nDéfinition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, et qui fait intervenir cette fonction et ses dérivées successives ($y', y'', ...$).\n\nOrdre : L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée qui y figure.\nExemples :\n- $y' = 2x$ : équation du premier ordre.\n- $y'' + 3y' + 2y = 0$ : équation du second ordre.\n\nSolution : Une solution sur un intervalle $I$ est une fonction dérivable (ou plusieurs fois dérivable) sur $I$ qui satisfait l'équation pour tout $x \\in I$.\n\n## 2. Équation différentielle $y' = a y$ (avec $a$ constant)\n\nC'est l'équation de la croissance ou décroissance exponentielle.\n\nRésolution : Les solutions sur $\\mathbb{R}$ sont les fonctions :\n$$y(x) = K e^{a x}, \\quad K \\in \\mathbb{R}$$\n$K$ est la constante d'intégration, déterminée par une condition initiale.\n\nJustification : On a $y' = a y \\iff \\frac{y'}{y} = a$ (si $y \\neq 0$). En intégrant : $\\ln|y| = a x + C \\iff y = \\pm e^C e^{a x} = K e^{a x}$, avec $K$ constante non nulle. On vérifie que $y=0$ est aussi solution (cas $K=0$).\n\nExemple : Si $a=2$, les solutions sont $y(x)=K e^{2x}$.\n\n## 3. Équation différentielle $y' + a y = b$ (avec $a, b$ constants, $a \\neq 0$)\n\nRésolution :\n1. Solution générale de l'équation homogène associée $y' + a y = 0$ : $y_h(x) = K e^{-a x}$.\n2. Solution particulière de l'équation complète $y' + a y = b$ : On cherche une solution constante $y_p = C$. Alors $y_p'=0$, donc $0 + a C = b \\Rightarrow C = \\frac{b}{a}$. Ainsi $y_p(x) = \\frac{b}{a}$.\n3. Solution générale : C'est la somme de la solution générale de l'homogène et d'une solution particulière :\n$$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = K e^{-a x} + \\frac{b}{a}$$\n\n## 4. Équation différentielle $y'' = 0$\n\nRésolution : En intégrant deux fois : $y'(x) = A$ (constante), puis $y(x) = A x + B$, où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.\nLes solutions sont les fonctions affines.\n\n## 5. Équation différentielle $y'' + \\omega^2 y = 0$ ($\\omega > 0$)\n\nC'est l'équation de l'oscillateur harmonique (systèmes oscillants sans amortissement).\n\nRésolution : Les solutions sur $\\mathbb{R}$ sont :\n$$y(x) = A \\cos(\\omega x) + B \\sin(\\omega x), \\quad A, B \\in \\mathbb{R}$$\nOn peut aussi écrire $y(x) = C \\cos(\\omega x + \\varphi)$ avec $C \\geq 0$ (amplitude) et $\\varphi$ (phase).\n\nJustification (hors programme) : On vérifie par dérivation que ces fonctions sont solutions. L'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2.\n\nPériode : Les solutions sont périodiques de période $T = \\frac{2\\pi}{\\omega}$.\n\n## 6. Équation différentielle $y'' - \\omega^2 y = 0$ ($\\omega > 0$)\n\nC'est l'équation de la croissance/décroissance exponentielle combinée.\n\nRésolution : Les solutions sur $\\mathbb{R}$ sont :\n$$y(x) = A e^{\\omega x} + B e^{-\\omega x}, \\quad A, B \\in \\mathbb{R}$$\n\nJustification : L'équation caractéristique associée est $r^2 - \\omega^2 = 0$, de racines $r = \\omega$ et $r = -\\omega$.\n\n## 7. Problème de Cauchy (Condition initiale)\n\nSouvent, on cherche la solution qui vérifie des conditions initiales, par exemple :\n- Pour une équation du premier ordre : $y(x_0) = y_0$.\n- Pour une équation du second ordre : $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y_1$.\n\nMéthode : On trouve d'abord la solution générale (qui dépend de constantes). On impose ensuite les conditions initiales pour déterminer les valeurs de ces constantes.\n\n## 8. Résolution de la situation d'apprentissage\n\nModélisation : L'accroissement de la population $P(t)$ est proportionnel à $P(t)$. Cela se traduit par $P'(t) = k P(t)$, où $k$ est une constante de proportionnalité. C'est une équation du type $y' = a y$.\n\nDonnées : $P(0) = 1000$ et la population double en 4 heures : $P(4) = 2 P(0) = 2000$.\n\nÉtape 1 : Solution générale\n$P(t) = K e^{k t}$, avec $K$ et $k$ constants.\n\nÉtape 2 : Détermination de $K$ avec la condition initiale\n$P(0)=1000 \\Rightarrow K e^{k \\cdot 0} = K \\cdot 1 = 1000 \\Rightarrow K = 1000$.\nDonc $P(t) = 1000 e^{k t}$.\n\nÉtape 3 : Détermination de $k$ avec la condition de doublement\n$P(4)=2000 \\Rightarrow 1000 e^{4k} = 2000 \\Rightarrow e^{4k} = 2$.\nEn prenant le logarithme : $4k = \\ln 2 \\Rightarrow k = \\frac{\\ln 2}{4}$.\n\nÉtape 4 : Expression de la population\n$$P(t) = 1000 \\, e^{\\frac{\\ln 2}{4} t} = 1000 \\, \\left(e^{\\ln 2}\\right)^{\\frac{t}{4}} = 1000 \\times 2^{\\frac{t}{4}}$$\n\nÉtape 5 : Population après 12 heures\n$P(12) = 1000 \\times 2^{\\frac{12}{4}} = 1000 \\times 2^{3} = 1000 \\times 8 = 8000$.\n\nConclusion : Après 12 heures, la colonie compterait environ 8 000 bactéries.\n\nGénéralisation : Le temps de doublement $t_d$ est constant dans un modèle exponentiel et vérifie $k t_d = \\ln 2$.