Similitudes directes du plan

Le cours

1. Définition d'une similitude directe\n\nUne similitude directe est une transformation du plan qui multiplie les distances par un réel positif k (rapport) et conserve les angles orientés.\n\nForme générale : z' = az + b avec a,b ∈ ℂ, a≠0, k=|a|, arg(a)=θ.\n\n## 2. Éléments caractéristiques\n\nUne similitude directe est caractérisée par :\n- Son rapport k > 0\n- Son angle θ\n- Son centre Ω (si k≠1)\n\n## 3. Types particuliers\n\n- Translation : k=1, θ=0 (ou a=1)\n- Rotation : k=1, θ≠0 (|a|=1)\n- Homothétie : k≠1, θ=0 (a réel >0)\n- Similitude directe générale : k≠1, θ≠0\n\n## 4. Composée d'homothétie et de rotation\n\nThéorème : Toute similitude directe de rapport k≠1 et d'angle θ est la composée commutative d'une homothétie de rapport k et d'une rotation d'angle θ (ou inversement).\n\nÉcriture complexe : z' - ω = ke^{iθ}(z - ω) où ω est l'affixe du centre.\n\n## 5. Détermination d'une similitude\n\nPour déterminer une similitude directe, on peut connaître :\n1. Centre, rapport, angle\n2. Centre, un point et son image\n3. Rapport, angle, un point et son image\n4. Deux points et leurs images\n\nMéthode avec deux points : Soit f telle que f(A)=A', f(B)=B'. On cherche a,b tels que :\na z_A + b = z_{A'}\na z_B + b = z_{B'}\nRésoudre ce système pour trouver a,b.\n\n## 6. Conservation des propriétés\n\nUne similitude directe conserve :\n- Le parallélisme\n- L'orthogonalité\n- Les angles orientés\n- Le barycentre\n- Le contact (tangence)\n\nAttention : Elle ne conserve pas les distances (sauf si k=1).\n\n## 7. Similitude et figures semblables\n\nDeux figures sont semblables si l'une est l'image de l'autre par une similitude.\n\nExemple ivoirien : Les plans des maisons traditionnelles baoulé à Bouaké présentent souvent des figures semblables (agrandissement réduction).\n\n## 8. Retour à la situation du système mécanique\n\nP ∈ [BC], ABCD carré de côté 1, A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1).\n\nRotation r : A centre, angle π/2 : N = r(P)\nSi P(1,t) avec t∈[0,1], alors N = r(P) :\nz_N = e^{iπ/2}(z_P - 0) = i(1+it) = i - t = -t + i\nDonc N(-t, 1)\n\nM milieu de [NP] : z_M = (z_P + z_N)/2 = (1+t + (-t+i))/2 = (1+i)/2\n\nSurprise : z_M = (1+i)/2 constant ! Donc M est fixe : le milieu du carré.\n\nLa similitude qui envoie P sur M ? z_M = 0.5z_P + 0.5i ?\nEn fait, M = h ∘ r(P) avec h homothétie de centre ? et rapport 0.5 ?\n\n## 9. Groupe des similitudes directes\n\nL'ensemble des similitudes directes muni de la composition forme un groupe.\n\nmermaid\ngraph LR\n A[Similitudes directes] --> B{Type?}\n B -->|k=1, θ=0| C[Translation]\n B -->|k=1, θ≠0| D[Rotation]\n B -->|k≠1, θ=0| E[Homothétie]\n B -->|k≠1, θ≠0| F[Similitude générale]\n\n\n## 10. Applications aux lieux géométriques\n\nMéthode : Si M = f(P) où f est une similitude directe et P décrit une courbe C, alors M décrit f(C) qui est une courbe semblable à C.\n\nExemple : P décrit un cercle de centre O, rayon R. f similitude de centre Ω, rapport k, angle θ. Alors M décrit un cercle de centre f(O), rayon kR.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Similitude directe : image d'un triangle",\n "xRange": [-2, 6],\n "yRange": [-2, 6],\n "functions": [],\n "points": [\n { "x": 0, "y": 0, "label": "A", "color": "#3b82f6" },\n { "x": 2, "y": 0, "label": "B", "color": "#3b82f6" },\n { "x": 1, "y": 1.5, "label": "C", "color": "#3b82f6" },\n { "x": 1, "y": 2, "label": "Ω", "color": "black", "size": 6 },\n { "x": 2, "y": 4, "label": "A'", "color": "#ef4444" },\n { "x": 4, "y": 4, "label": "B'", "color": "#ef4444" },\n { "x": 3, "y": 5.5, "label": "C'", "color": "#ef4444" }\n ],\n "polygons": [\n { "points": [[0,0], [2,0], [1,1.5]], "color": "#3b82f6", "label": "Triangle original" },\n { "points": [[2,4], [4,4], [3,5.5]], "color": "#ef4444", "label": "Image par similitude" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "annotations": [\n { "text": "k=2, θ=0", "x": 2.5, "y": 3 }\n ]\n}\n\n\n## 11. Bijection réciproque\n\nLa bijection réciproque d'une similitude directe de rapport k et d'angle θ est une similitude directe de rapport 1/k et d'angle -θ, de même centre.\n