Probabilité conditionnelle et variable aléatoire

Le cours

1. Notion de probabilité conditionnelle\n\nSoit A et B deux événements avec P(B) \neq 0. La probabilité conditionnelle de A sachant B est :\n$$P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}$$\n\nExemple contextualisé : Dans une entreprise de cacao à San-Pédro, 60% des employés sont qualifiés. Parmi les qualifiés, 80% ont plus de 5 ans d'expérience. Quelle est la probabilité qu'un employé pris au hasard ait plus de 5 ans d'expérience sachant qu'il est qualifié ?\n\n## 2. Événements indépendants\n\nDeux événements A et B sont indépendants si :\n$$P(A \\cap B) = P(A) \\times P(B)$$\n\nApplication : À la station Total de Yamoussoukro, les probabilités que la pompe à essence soit défectueuse est 0.05 et que le système de paiement soit en panne est 0.02. Ces deux pannes sont indépendantes.\n\n## 3. Formule des probabilités totales\n\nSi B₁, B₂, ..., Bₙ forment un système complet d'événements (partition de l'univers) :\n$$P(A) = \\sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i)$$\n\n| Situation | P(Bᵢ) | P(A|Bᵢ) | Contribution |\n|-----------|-------|---------|--------------|\n| Fabrication usine A | 0.40 | 0.95 | 0.38 |\n| Fabrication usine B | 0.35 | 0.90 | 0.315 |\n| Fabrication usine C | 0.25 | 0.85 | 0.2125 |\n| Total | 1.00 | - | 0.9075 |\n\n## 4. Variable aléatoire discrète\n\nUne variable aléatoire X est une fonction qui à chaque issue de l'univers associe un nombre réel.\n\nExemple ivoirien : Dans une plantation de café à Man, le nombre X de sacs de café récoltés par jour peut prendre les valeurs : 50, 60, 70 avec probabilités respectives 0.3, 0.5, 0.2.\n\n## 5. Loi de probabilité\n\nTableau de la loi de probabilité de X :\n$$\\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\\hline\nx_i & x_1 & x_2 & \\cdots & x_n \\\\ \\hline\nP(X=x_i) & p_1 & p_2 & \\cdots & p_n \\\\ \\hline\n\\end{array}$$\n\n## 6. Espérance mathématique\n\nL'espérance de X est :\n$$E(X) = \\sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i)$$\n\nInterprétation économique : Dans le jeu de la kermesse, si E(X) > mise, le jeu est favorable au joueur.\n\n## 7. Variance et écart-type\n\n$$V(X) = \\sum_{i=1}^{n} [x_i - E(X)]^2 P(X=x_i)$$\n$$\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)}$$\n\n## 8. Loi binomiale\n\nUne variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n,p) si elle compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité p.\n$$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$$\n\nApplication : À l'université de Bouaké, 30% des étudiants ont un ordinateur portable. Sur 10 étudiants choisis au hasard, quelle est la probabilité qu'exactement 4 aient un ordinateur ?\n$$P(X=4) = C_{10}^4 (0.3)^4 (0.7)^6 \\approx 0.2001$$\n\n## 9. Fonction de répartition\n\n$$F(x) = P(X \\leq x) = \\sum_{x_i \\leq x} P(X=x_i)$$\n\n## 10. Retour à la situation de la kermesse\n\nSoit X le gain du joueur. Calculons E(X) pour déterminer la mise minimale.\n- Probabilité de tirer deux boules de même couleur : P(perdre) = ?\n- Probabilité de ganger : P(gagner) = ?\n- Calcul de E(X) et détermination de la mise.