Primitives

Le cours

1. Définition et existence d'une primitive\n\nDéfinition : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \\in I$, $F'(x) = f(x)$.\n\nExemple : $F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\\mathbb{R}$ car $F'(x)=2x=f(x)$.\n\nThéorème d'existence : Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.\n\nRemarque : La dérivabilité de $f$ n'est pas requise pour l'existence d'une primitive, mais la continuité l'est.\n\n## 2. Ensemble des primitives (Théorème fondamental)\n\nThéorème : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $F_0$ une primitive de $f$ sur $I$. Alors toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $F$ définies par $F(x) = F_0(x) + C$, où $C$ est une constante réelle arbitraire.\n\nConséquence : Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.\nNotation : On note souvent $\\int f(x) \\, dx$ l'ensemble des primitives de $f$ (appelée intégrale indéfinie).\n$\\int f(x) \\, dx = F(x) + C, \\ C \\in \\mathbb{R}$.\n\n## 3. Primitives des fonctions de référence (tableau indispensable)\n\n| Fonction $f(x)$ | Une primitive $F(x)$ | Conditions |\n|---|---|---|\n| $a$ (constante) | $ax$ | $x \\in \\mathbb{R}$ |\n| $x^n$ ($n \\in \\mathbb{N}^*$) | $\\frac{x^{n+1}}{n+1}$ | $x \\in \\mathbb{R}$ |\n| $x^\\alpha$ ($\\alpha \\in \\mathbb{R} \\setminus \\{-1\\}$) | $\\frac{x^{\\alpha+1}}{\\alpha+1}$ | $x > 0$ |\n| $\\frac{1}{x}$ | $\\ln |x|$ | $x \\in \\mathbb{R}^*$ |\n| $e^x$ | $e^x$ | $x \\in \\mathbb{R}$ |\n| $\\cos x$ | $\\sin x$ | $x \\in \\mathbb{R}$ |\n| $\\sin x$ | $-\\cos x$ | $x \\in \\mathbb{R}$ |\n| $\\frac{1}{\\cos^2 x} = 1+\\tan^2 x$ | $\\tan x$ | $x \\neq \\frac{\\pi}{2} + k\\pi$ |\n| $\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$ | $\\arcsin x$ | $x \\in ]-1,1[$ |\n| $\\frac{1}{1+x^2}$ | $\\arctan x$ | $x \\in \\mathbb{R}$ |\n\n## 4. Primitives et opérations algébriques\n\nLa primitive d'une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des primitives (linéarité) :\nSi $F$ est primitive de $f$ et $G$ de $g$ sur $I$, et si $\\lambda$, $\\mu$ sont des réels, alors $\\lambda F + \\mu G$ est une primitive de $\\lambda f + \\mu g$ sur $I$.\n\n$$\\int (\\lambda f(x) + \\mu g(x)) \\, dx = \\lambda \\int f(x) \\, dx + \\mu \\int g(x) \\, dx$$\n\n## 5. Primitives de fonctions de la forme $u' \\times f \\circ u$ (formules liées à la dérivation des composées)\n\nCes formules découlent directement de la formule de dérivation $(F \\circ u)' = u' \\times (F' \\circ u) = u' \\times (f \\circ u)$ si $F'=f$.\n\n| Si $F$ est une primitive de $f$, alors une primitive de $u'(x) \\cdot f(u(x))$ est $F(u(x))$. |\n|---|---|\n\nCas particuliers essentiels (à connaître) :\n1. $\\int u'(x) e^{u(x)} \\, dx = e^{u(x)} + C$\n2. $\\int \\frac{u'(x)}{u(x)} \\, dx = \\ln |u(x)| + C$, pour $u(x) \\neq 0$\n3. $\\int u'(x) \\cos(u(x)) \\, dx = \\sin(u(x)) + C$\n4. $\\int u'(x) \\sin(u(x)) \\, dx = -\\cos(u(x)) + C$\n5. $\\int u'(x) (u(x))^\\alpha \\, dx = \\frac{(u(x))^{\\alpha+1}}{\\alpha+1} + C$, pour $\\alpha \\neq -1$\n\n## 6. Détermination d'une primitive unique (Condition initiale)\n\nSouvent, on cherche la primitive qui prend une valeur donnée en un point donné. C'est un problème de Cauchy élémentaire.\n\nMéthode :\n1. Trouver l'ensemble des primitives $F(x) + C$.\n2. Utiliser la condition $F(x_0) = y_0$ pour déterminer la constante $C$.\n\nExemple : Trouver la primitive $F$ de $f(x)=2x$ telle que $F(1)=3$.\nEnsemble des primitives : $F(x)=x^2 + C$.\nCondition : $F(1)=1^2+C=3 \\Rightarrow C=2$.\nDonc $F(x)=x^2+2$.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Primitives de f(x)=2x (F(x)=x²+C)",\n "xRange": [-2, 2],\n "yRange": [-1, 5],\n "functions": [\n { "expression": "x^2", "color": "#8884d8", "name": "C=0" },\n { "expression": "x^2+1", "color": "#82ca9d", "name": "C=1" },\n { "expression": "x^2+2", "color": "#ff7300", "name": "C=2 (F(1)=3)", "lineStyle": "dashed" },\n { "expression": "x^2-1", "color": "#a4de6c", "name": "C=-1" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "points": [ { "x": 1, "y": 3, "color": "#ff0000", "label": "(1,3)" } ]\n}\n\n\n## 7. Techniques de calcul de primitives\n\nReconnaissance d'une forme $u' f(u)$ : C'est la technique la plus courante.\nEx : $\\int \\frac{2x}{x^2+1} dx$. On reconnaît $u'(x)/u(x)$ avec $u(x)=x^2+1$, $u'(x)=2x$. Donc primitive = $\\ln(x^2+1) + C$.\n\nLinéarisation d'expressions trigonométriques : Utiliser les formules de Moivre/Euler pour transformer des produits en sommes.\nEx : $\\int \\cos^2 x \\, dx$. On linéarise : $\\cos^2 x = \\frac{1+\\cos(2x)}{2}$. Donc $\\int \\cos^2 x \\, dx = \\frac{1}{2}\\int (1+\\cos 2x) dx = \\frac{1}{2}(x + \\frac{1}{2}\\sin 2x) + C$.\n\nChangement de variable : Méthode puissante, souvent implicite quand on reconnaît $u' f(u)$.\n\n## 8. Exemple contextuel ivoirien (Retour à la situation de l'ascenseur)\n\nSupposons que l'élève ait mesuré une accélération modélisée par $a(t) = 0.5 \\cos(0.4 t)$ pour $t \\in [0, 10]$ (en m/s²), avec une vitesse initiale $v(0)=0$ m/s.\n1. Trouver toutes les fonctions $v(t)$ dont la dérivée est $a(t)$.\n2. Déterminer la fonction vitesse $v(t)$ correspondant à la mesure (avec condition initiale).\n3. En déduire la vitesse après 5 secondes.\n\nRésolution :\n1. On cherche les primitives de $a(t)=0.5 \\cos(0.4 t)$.\nOn reconnaît une forme $k \\cos(u(t))$ avec $u(t)=0.4t$, $u'(t)=0.4$. On a $a(t)=\\frac{0.5}{0.4} \\times 0.4 \\cos(0.4t) = 1.25 \\times u'(t) \\cos(u(t))$.\nOr une primitive de $u'(t) \\cos(u(t))$ est $\\sin(u(t))$.\nDonc $\\int 0.5 \\cos(0.4t) \\, dt = 1.25 \\sin(0.4t) + C$, où $C$ est une constante.\nAinsi, $v(t) = 1.25 \\sin(0.4t) + C$.\n\n2. Condition initiale : $v(0)=0$.\n$v(0) = 1.25 \\sin(0) + C = 0 + C = 0 \\Rightarrow C=0$.\nDonc la fonction vitesse est $v(t) = 1.25 \\sin(0.4t)$.\n\n3. Vitesse à $t=5$ s : $v(5) = 1.25 \\sin(0.4 \\times 5) = 1.25 \\sin(2)$.\n$\\sin(2) \\approx 0.9093$ (radians). Donc $v(5) \\approx 1.25 \\times 0.9093 \\approx 1.1366$ m/s.\n\nL'élève peut maintenant poursuivre son exposé en déterminant également la hauteur par intégration de la vitesse.