Nombres complexes

Le cours

1. Introduction à l'ensemble ℂ\n\nEn mathématiques, lorsqu'une équation n'a pas de solutions dans un ensemble connu, une démarche naturelle est d'élargir cet ensemble. L'équation $x^2 + 1 = 0$ n'a pas de solution dans $\\mathbb{R}$. On définit donc un nouveau nombre, noté $i$, tel que $i^2 = -1$.\n\nDéfinition : L'ensemble des nombres complexes, noté $\\mathbb{C}$, est l'ensemble des nombres qui s'écrivent $z = a + ib$, où $a$ et $b$ sont des réels.\n- $a$ est la partie réelle de $z$, notée $\\text{Re}(z)$.\n- $b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\\text{Im}(z)$.\n\nExemple : Pour $z = 3 - 5i$, $\\text{Re}(z) = 3$ et $\\text{Im}(z) = -5$.\n\n## 2. Forme algébrique et opérations\n\nForme algébrique : $z = a + ib$.\n\n| Opération | Calcul | Exemple |\n|---|---|---|\n| Somme | $(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)$ | $(2+3i) + (1-5i) = 3 - 2i$ |\n| Produit | $(a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)$ | $(1+i)(2-i) = 3 + i$ |\n| Conjugué | $\\overline{z} = a - ib$ | $\\overline{3+4i} = 3-4i$ |\n| Quotient | $\\frac{z_1}{z_2} = \\frac{z_1 \\overline{z_2}}{z_2 \\overline{z_2}}$ | $\\frac{1+i}{2-i} = ...$ |\n\nPropriété importante : $z \\in \\mathbb{R} \\iff z = \\overline{z}$. $z$ est imaginaire pur $\\iff z = -\\overline{z}$.\n\n## 3. Module et argument\n\nPour $z = a + ib$, on peut le représenter dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$ par le point $M$ de coordonnées $(a, b)$.\n\nDéfinition du module : $|z| = \\sqrt{a^2 + b^2}$. C'est la distance $OM$.\nExemple : $|3+4i| = \\sqrt{3^2+4^2}=5$.\n\nDéfinition d'un argument : Si $z \\neq 0$, un argument de $z$, noté $\\arg(z)$, est une mesure en radians de l'angle orienté $(\\vec{u}, \\overrightarrow{OM})$. On a : $\\arg(z) = \\theta \\ [2\\pi]$.\nIl est déterminé par : $\\cos\\theta = \\frac{a}{|z|}$ et $\\sin\\theta = \\frac{b}{|z|}$.\n\n## 4. Forme trigonométrique et exponentielle\n\nForme trigonométrique : $z = |z|(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)$, où $\\theta = \\arg(z)$.\n\nForme exponentielle (notation) : $z = |z| e^{i\\theta}$.\nCette notation est justifiée par la formule d'Euler : $e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$.\n\nExemple : $z = 1 + i$. $|z|=\\sqrt{2}$, $\\arg(z)=\\frac{\\pi}{4} \\ [2\\pi]$.\nFormes : $\\sqrt{2}(\\cos\\frac{\\pi}{4}+i\\sin\\frac{\\pi}{4}) = \\sqrt{2} e^{i\\frac{\\pi}{4}}$.\n\n## 5. Formule de Moivre et applications\n\nFormule de Moivre : Pour tout $\\theta \\in \\mathbb{R}$ et tout $n \\in \\mathbb{Z}$, $(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)^n = \\cos(n\\theta) + i\\sin(n\\theta)$.\n\nApplication à la linéarisation : Cette formule permet de transformer des puissances de cosinus et sinus en sommes.\nExemple : $\\cos^3 \\theta = \\frac{1}{4}(3\\cos\\theta + \\cos 3\\theta)$.\n\n## 6. Équations dans ℂ et racines n-ièmes\n\nÉquation du second degré : $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \\in \\mathbb{C}, a \\neq 0$.\nOn calcule le discriminant $\\Delta = b^2 - 4ac$.\nSi $\\Delta \\neq 0$, il y a deux solutions distinctes : $z = \\frac{-b \\pm \\delta}{2a}$, où $\\delta$ est une racine carrée complexe de $\\Delta$.\n\nRacines n-ièmes d'un nombre complexe : Soit $Z = r e^{i\\Theta} \\in \\mathbb{C}^*$. Les $n$ racines n-ièmes de $Z$ sont : $z_k = \\sqrt[n]{r} \\, e^{i\\frac{\\Theta + 2k\\pi}{n}}$ pour $k = 0, 1, ..., n-1$.\n\nRacines de l'unité : Les $n$ racines n-ièmes de 1 sont $\\omega_k = e^{i\\frac{2k\\pi}{n}}$. Elles sont situées sur le cercle trigonométrique.\n\nmathgraph\n{\n "type": "points",\n "title": "Racines 6-ièmes de l'unité",\n "xRange": [-1.5, 1.5],\n "yRange": [-1.5, 1.5],\n "points": [\n { "x": 1, "y": 0, "label": "ω₀" },\n { "x": 0.5, "y": 0.866, "label": "ω₁" },\n { "x": -0.5, "y": 0.866, "label": "ω₂" },\n { "x": -1, "y": 0, "label": "ω₃" },\n { "x": -0.5, "y": -0.866, "label": "ω₄" },\n { "x": 0.5, "y": -0.866, "label": "ω₅" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Re(z)",\n "yLabel": "Im(z)",\n "circle": { "center": [0,0], "radius": 1 }\n}\n\n\n## 7. Applications géométriques\n\nSoient $A$, $B$, $M$ des points d'affixes respectives $a$, $b$, $z$.\n- Distance : $AB = |b - a|$.\n- Argument : $\\arg(b-a) = (\\vec{u}, \\overrightarrow{AB})$.\n\nCaractérisations complexes :\n- Droite passant par $A$ dirigée par $\\vec{u}$ (d'affixe $u$) : $\\frac{z-a}{u} \\in \\mathbb{R}$.\n- Cercle de centre $\Omega(\\omega)$ et de rayon $R$ : $|z - \\omega| = R$.\n- Médiatrice de $[AB]$ : $|z-a| = |z-b|$.\n\n## 8. Exemple contextuel ivoirien\n\nUn architecte de Yamoussoukro modélise une rosace sur un projet de vitrail. Les sommets d'un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 2 mètres sont représentés par les affixes $z_k = 2 e^{i(\\frac{\\pi}{2} + \\frac{2k\\pi}{5})}$ pour $k=0,...,4$. Calculer la longueur d'un côté du pentagone.\nRésolution : La longueur du côté est $|z_1 - z_0| = |2 e^{i(\\frac{\\pi}{2}+\\frac{2\\pi}{5})} - 2 e^{i\\frac{\\pi}{2}}| = 2 |e^{i\\frac{\\pi}{2}}||e^{i\\frac{2\\pi}{5}} - 1| = 2 |e^{i\\frac{2\\pi}{5}} - 1|$. En utilisant les formules trigonométriques, on trouve une longueur d'environ 2,35 mètres.