Limites et continuité

Le cours

1. Rappels et généralités sur les limites\n\nDéfinition intuitive : On dit que $f$ a pour limite $l$ (réel) en $+\\infty$ si $f(x)$ est aussi proche que l'on veut de $l$ dès que $x$ est suffisamment grand. Notation : $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = l$.\n\nLimites de référence à connaître :\n- $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{1}{x} = 0$, $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin x}{x} = 1$ (à retrouver).\n- $\\lim_{x \\to +\\infty} e^x = +\\infty$, $\\lim_{x \\to -\\infty} e^x = 0$.\n- $\\lim_{x \\to +\\infty} \\ln x = +\\infty$, $\\lim_{x \\to 0^+} \\ln x = -\\infty$.\n\nOpérations sur les limites : Somme, produit, quotient (en respectant les règles des formes indéterminées).\n\n## 2. Techniques de calcul de limites\n\nLevée d'indéterminations :\n1. Factorisation par le terme dominant (en $\\pm\\infty$).\n Ex : $\\lim_{x \\to +\\infty} (x^2 - x) = \\lim_{x \\to +\\infty} x^2(1 - \\frac{1}{x}) = +\\infty$.\n\n2. Utilisation de l'expression conjuguée (pour les différences de racines).\n Ex : $\\lim_{x \\to +\\infty} (\\sqrt{x+1} - \\sqrt{x}) = \\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x}} = 0$.\n\n3. Utilisation des nombres dérivés (pour les taux d'accroissement).\n Ex : $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin x}{x} = \\sin'(0) = \\cos 0 = 1$.\n\n4. Théorèmes de comparaison (minoration, majoration, encadrement).\n\n## 3. Limite d'une fonction composée et continuité\n\nThéorème (limite d'une composée) : Si $\\lim_{x \\to a} u(x) = b$ et $\\lim_{y \\to b} f(y) = l$, alors $\\lim_{x \\to a} f(u(x)) = l$.\n\nContinuité en un point : $f$ est continue en $a$ si $\\lim_{x \\to a} f(x) = f(a)$.\nContinuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$.\n\nProlongement par continuité : Si $f$ est définie sur $I\\setminus\\{a\\}$ et si $\\lim_{x \\to a} f(x) = l$ existe (finie), alors la fonction $\\tilde{f}$ définie par $\\tilde{f}(x)=f(x)$ si $x \\neq a$ et $\\tilde{f}(a)=l$ est continue en $a$. On dit qu'on a prolongé $f$ par continuité en $a$.\n\nExemple de la situation : $q(x)=\\frac{\\sin x}{x}$ n'est pas définie en 0. Mais $\\lim_{x \\to 0} q(x) = 1$. On peut donc la prolonger par continuité en 0 en posant $\\tilde{q}(0)=1$.\n\n## 4. Branches infinies et branches paraboliques\n\nAsymptote verticale : Si $\\lim_{x \\to a} f(x) = \\pm\\infty$, la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale.\n\nAsymptote horizontale : Si $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = l$, la droite $y=l$ est asymptote horizontale.\n\nBranches paraboliques : Lorsque $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = \\pm\\infty$, on étudie $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{f(x)}{x}$.\n- Si $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{f(x)}{x} = 0$, la courbe présente une branche parabolique de direction (Ox).\n- Si $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{f(x)}{x} = \\pm\\infty$, la courbe présente une branche parabolique de direction (Oy).\n- Si $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{f(x)}{x} = a \\neq 0$ (fini), on étudie $f(x) - ax$ pour chercher une asymptote oblique.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Exemples de branches paraboliques",\n "xRange": [0, 20],\n "yRange": [-5, 30],\n "functions": [\n { "expression": "sqrt(x)", "color": "#8884d8", "name": "Direction (Oy)" },\n { "expression": "ln(x)", "color": "#82ca9d", "name": "Direction (Ox)" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "asymptotes": [\n { "type": "vertical", "x": 0 }\n ]\n}\n\n\n## 5. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)\n\nThéorème (admis) : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ dans $[a, b]$ tel que $f(c) = k$.\n\nCas particulier important (zéro d'une fonction) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a) \\times f(b) < 0$ (signes contraires), alors il existe au moins un réel $c$ dans $]a, b[$ tel que $f(c) = 0$.\n\n## 6. Fonctions continues strictement monotones et bijectivité\n\nThéorème (bijection) : Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors :\n1. $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$.\n2. Sa bijection réciproque $f^{-1}$ est continue sur $f(I)$ et a le même sens de variation que $f$.\n\nThéorème (unicité de la solution) : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors pour tout $k$ dans $f(I)$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $I$.\n\n## 7. Méthodes d'approximation de solutions\n\nMéthode de balayage : On découpe l'intervalle $[a, b]$ en $n$ sous-intervalles de même amplitude. On évalue $f$ aux bornes de chaque sous-intervalle. Dès que $f$ change de signe, on localise la solution dans ce petit intervalle.\n\nMéthode de dichotomie : Algorithme plus efficace.\nmermaid\ngraph TD\n A[Début : Intervalle [a,b], f continue, f(a)*f(b)<0] --> B{Calcul du milieu m = (a+b)/2};\n B --> C{Test f(m)};\n C -->|f(m)=0| D[Solution exacte m];\n C -->|f(a)*f(m) < 0| E[Nouvel intervalle [a, m]];\n C -->|f(m)*f(b) < 0| F[Nouvel intervalle [m, b]];\n E --> G{Précision suffisante ?};\n F --> G;\n G -->|Non| B;\n G -->|Oui| H[Fin : Valeur approchée trouvée];\n\n\n## 8. Exemple contextuel ivoirien\n\nUne coopérative agricole de San-Pédro modélise son bénéfice mensuel (en millions de FCFA) sur la vente de cacao par la fonction $B(x) = \\frac{x^2 - 3x + 2}{x-1} - \\ln x$, pour $x > 0$, $x \\neq 1$, où $x$ est la quantité vendue (en tonnes).\n1. Étudier la limite de $B$ en 1. Peut-on prolonger $B$ par continuité en $x=1$ ?\n2. Montrer que l'équation $B(x)=0$ admet une unique solution $\\alpha$ dans l'intervalle $[2, 4]$.\n3. Donner un encadrement de $\\alpha$ d'amplitude $0.5$ par la méthode de dichotomie.\n\nRésolution guidée :\n1. Pour $x \\neq 1$, $\\frac{x^2-3x+2}{x-1} = \\frac{(x-1)(x-2)}{x-1} = x-2$. Donc $B(x) = x-2 - \\ln x$. Cette expression est aussi valable en $x=1$ ! Ainsi, $\\lim_{x \\to 1} B(x) = 1-2-\\ln1 = -1$. On définit donc $B(1)=-1$, la fonction est ainsi prolongée par continuité sur $]0, +\\infty[$.\n2. Sur $[2,4]$, $B$ est continue (somme de fonctions continues). $B'(x)=1-\\frac{1}{x} >0$ pour $x>1$, donc $B$ est strictement croissante. $B(2)=0-\\ln2<0$ et $B(4)=2-\\ln4>0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction continue strictement croissante, l'équation $B(x)=0$ admet une unique solution $\\alpha$ dans $[2,4]$.\n3. Dichotomie : $a_0=2, b_0=4, f(a_0)<0, f(b_0)>0$. $m_0=3$, $B(3)=1-\\ln3 \\approx -0.0986 <0$. Nouvel intervalle $[3,4]$. $m_1=3.5$, $B(3.5)=1.5-\\ln3.5 \\approx 0.247 >0$. Nouvel intervalle $[3, 3.5]$. L'amplitude est $0.5$. Donc $\\alpha \\in [3, 3.5]$.