Nombres complexes et géométrie du plan

Le cours

1. Rappels sur les nombres complexes\n\n- Forme algébrique : z = x+iy\n- Forme trigonométrique : z = r(cosθ+isinθ)\n- Forme exponentielle : z = re^{iθ}\n- Module : |z| = √(x²+y²)\n- Argument : arg(z) = θ tel que cosθ=x/r, sinθ=y/r\n\n## 2. Affixe d'un point, d'un vecteur\n\nÀ tout point M(x,y) on associe son affixe z_M = x+iy.\nÀ tout vecteur \vec{u}(α,β) on associe son affixe z_\vec{u} = α+iβ.\n\nPropriété : \overrightarrow{AB} a pour affixe z_B - z_A.\n\n## 3. Caractérisations complexes des configurations\n\nAlignement : A,B,C alignés ⇔ (z_C-z_A)/(z_B-z_A) ∈ ℝ\nAngle : (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = arg((z_C-z_A)/(z_B-z_A))\nOrthogonalité : (AB)⊥(AC) ⇔ (z_C-z_A)/(z_B-z_A) ∈ iℝ\n\nTriangle équilatéral : A,B,C équilatéral ⇔ z_A+jz_B+j²z_C=0 ou (z_C-z_A)/(z_B-z_A)=e^{±iπ/3}\navec j=e^{i2π/3}.\n\n## 4. Écriture complexe des transformations\n\n| Transformation | Écriture complexe |\n|---------------|-------------------|\n| Translation de vecteur d'affixe b | z' = z + b |\n| Homothétie de centre Ω(ω), rapport k | z' - ω = k(z - ω) |\n| Rotation de centre Ω(ω), angle θ | z' - ω = e^{iθ}(z - ω) |\n| Symétrie centrale de centre Ω(ω) | z' - ω = -(z - ω) |\n| Symétrie axiale d'axe (Ox) | z' = \bar{z} |\n| Symétrie axiale d'axe (Oy) | z' = -\bar{z} |\n\n## 5. Équation complexe d'une droite\n\nUne droite passant par A d'affixe a, de vecteur directeur d'affixe u (u≠0) :\n$$\\frac{z-a}{u} ∈ ℝ$$\nSoit : $$\\frac{z-a}{u} = \\overline{\\left(\\frac{z-a}{u}\\right)}$$\n\n## 6. Équation complexe d'un cercle\n\nCercle de centre Ω(ω), rayon R :\n$$|z-ω| = R$$\n\nÉquation générale : z\bar{z} + αz + \bar{α}\bar{z} + β = 0 avec β∈ℝ, |α|²>β.\n\n## 7. Lieux géométriques classiques\n\n- |z-a| = |z-b| : médiatrice de [AB]\n- |z-a| = R : cercle de centre A, rayon R\n- arg((z-a)/(z-b)) = θ [π] : arc capable d'angle θ\n- |z-a|/|z-b| = k (k>0) : cercle d'Apollonius (si k≠1)\n\n## 8. Application à la situation\n\nABCD carré de côté 1 : A(0), B(1), C(1+i), D(i).\nP ∈ [BC] : z_P = 1+ti, t∈[0,1].\n\nRotation r : A centre, angle π/2 : z_N = i×z_P = i(1+ti) = i - t = -t + i.\nDonc N(-t,1).\n\nM milieu de [NP] : z_M = (z_P+z_N)/2 = (1+ti -t + i)/2 = ((1-t) + i(1+t))/2.\n\nAnalyse :\nPour t∈[0,1] :\n- N décrit le segment [D'C'] avec D'=N(P=B)=N(1)=i-1=-1+i, C'=N(P=C)=N(1+i)=i(1+i)=i-1=-1+i ?\nEn fait : si P=B(1), t=0 ⇒ N(0,1) qui est D? Non, D(0,1)=i.\nSi P=C(1+i), t=1 ⇒ N(-1,1) = -1+i.\nDonc N décrit [D(-1+i) à D(0,1)]? Vérifions : D(0,1)=i, D'(-1,1)=-1+i.\n\nPour M : x=(1-t)/2, y=(1+t)/2 ⇒ x+y=1, avec x∈[0,0.5], y∈[0.5,1].\nDonc M décrit le segment de (0.5,0.5) à (0,1) sur la droite x+y=1.\n\n## 9. Méthode générale pour les lieux\n\n1. Exprimer z en fonction d'un paramètre t\n2. Séparer partie réelle et imaginaire : x=f(t), y=g(t)\n3. Éliminer t pour obtenir une relation entre x et y\n4. Identifier la courbe\n\nExemple : z = (1+it)/(1-it), t∈ℝ. Chercher le lieu de M.\n\n## 10. Configurations particulières\n\nCocyclicité : A,B,C,D cocycliques ou alignés ⇔\n$$\\frac{z_A-z_C}{z_A-z_D} : \\frac{z_B-z_C}{z_B-z_D} ∈ ℝ$$\n(c'est le birapport (A,B,C,D))\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Lieu géométrique avec nombres complexes",\n "xRange": [-2, 2],\n "yRange": [-2, 2],\n "functions": [\n { "expression": "sqrt(1-x*x)", "color": "#3b82f6", "name": "Cercle |z|=1" },\n { "expression": "-sqrt(1-x*x)", "color": "#3b82f6", "name": "" }\n ],\n "points": [\n { "x": 1, "y": 0, "label": "A(1)", "color": "red" },\n { "x": -1, "y": 0, "label": "B(-1)", "color": "red" },\n { "x": 0.5, "y": 0, "label": "P", "color": "green" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "annotations": [\n { "text": "Lieu de M tel que |z-1|/|z+1|=2", "x": 0, "y": 1.5 }\n ]\n}\n\n\n## 11. Utilisation en géométrie analytique\n\nLes complexes offrent une méthode puissante pour :\n- Démontrer des alignements, orthogonalités\n- Calculer des angles\n- Déterminer des lieux\n- Résoudre des problèmes de construction\n\nExemple ivoirien : À San-Pédro, pour déterminer la position optimale d'un phare P par rapport à trois ports A,B,C, on peut utiliser les complexes pour minimiser PA+PB+PC.