Isométries du plan

Le cours

1. Définition d'une isométrie\n\nUne isométrie du plan est une transformation qui conserve les distances :\nPour tous points A, B et leurs images A', B', on a A'B' = AB.\n\nConséquences : conservation des angles, des aires, de l'alignement, du parallélisme.\n\n## 2. Classification des isométries\n\nDéplacements (conservent l'orientation) :\n- Translation\n- Rotation\n\nAntidéplacements (inversent l'orientation) :\n- Symétrie axiale (orthogonale)\n- Symétrie glissée\n\n## 3. Points invariants\n\n| Isométrie | Points invariants |\n|-----------|-------------------|\n| Translation (non identité) | Aucun |\n| Rotation (angle non multiple de 2π) | Centre uniquement |\n| Symétrie axiale | Points de l'axe |\n| Symétrie glissée | Aucun |\n| Identité | Tous les points |\n\n## 4. Écriture complexe\n\n- Translation de vecteur d'affixe b : z' = z + b\n- Rotation de centre Ω(ω) d'angle θ : z' - ω = e^{iθ}(z - ω)\n- Symétrie axiale d'axe (Ox) : z' = \bar{z}\n- Symétrie axiale d'axe (Oy) : z' = -\bar{z}\n\n## 5. Décomposition en symétries axiales\n\nThéorème fondamental : Toute isométrie du plan est composée d'au plus trois symétries axiales.\n\nDécompositions particulières :\n- Translation = composée de 2 symétries d'axes parallèles\n- Rotation = composée de 2 symétries d'axes sécants\n\nDémonstration pour la rotation : Soit r = s₂ ∘ s₁ avec s₁ et s₂ d'axes D₁ et D₂ sécants en O.\nAngle(r) = 2×angle(D₁,D₂).\n\n## 6. Symétrie glissée\n\nUne symétrie glissée est la composée d'une symétrie axiale et d'une translation de vecteur parallèle à l'axe.\nC'est le seul antidéplacement sans point fixe.\n\nExemple : À Abidjan, les empreintes de pas sur le sable forment une symétrie glissée (pas gauche, pas droit alternés).\n\n## 7. Composées d'isométries\n\n- Rotation ∘ Translation = Rotation (même angle, centre différent)\n- Translation ∘ Rotation = Rotation (même angle, centre différent)\n- Symétrie ∘ Translation = Symétrie glissée si vecteur ∥ axe\n- Symétrie ∘ Rotation = Symétrie axiale si angle=π\n\n## 8. Détermination d'une isométrie\n\nPour déterminer une isométrie, on peut :\n1. Chercher ses points invariants\n2. Examiner son effet sur une figure simple (triangle)\n3. Utiliser l'écriture complexe\n\n## 9. Applications géométriques\n\nLes isométries permettent de démontrer des propriétés :\n- Égalité de segments\n- Égalité d'angles\n- Alignement de points\n- Parallélisme\n\nExemple ivoirien : À la Basilique de Yamoussoukro, les rosaces présentent des symétries de rotation.\n\n## 10. Retour au jeu du triangle acrobate\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Triangle en case 1] --> B{Symétrie axiale?}\n A --> C{Rotation?}\n A --> D{Translation?}\n B --> E[Case 2]\n C --> F[Case 3]\n D --> G[Case 4]\n E --> H[Composées possibles]\n F --> H\n G --> H\n H --> I[Toutes les cases accessibles]\n\n\nAnalyse : Chaque déplacement est une isométrie. En composant plusieurs isométries, on peut atteindre n'importe quelle case. Le groupe des isométries conservant le pavage est un groupe de frises.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Différentes isométries appliquées à un triangle",\n "xRange": [-5, 5],\n "yRange": [-5, 5],\n "functions": [],\n "points": [\n { "x": -3, "y": 0, "label": "A", "color": "#3b82f6" },\n { "x": -2, "y": 1, "label": "B", "color": "#3b82f6" },\n { "x": -1, "y": 0, "label": "C", "color": "#3b82f6" },\n { "x": 0, "y": 0, "label": "A'", "color": "#ef4444" },\n { "x": 1, "y": 1, "label": "B'", "color": "#ef4444" },\n { "x": 2, "y": 0, "label": "C'", "color": "#ef4444" },\n { "x": -2, "y": -2, "label": "A''", "color": "#10b981" },\n { "x": -1, "y": -1, "label": "B''", "color": "#10b981" },\n { "x": 0, "y": -2, "label": "C''", "color": "#10b981" }\n ],\n "polygons": [\n { "points": [[-3,0], [-2,1], [-1,0]], "color": "#3b82f6", "label": "Triangle original" },\n { "points": [[0,0], [1,1], [2,0]], "color": "#ef4444", "label": "Translation" },\n { "points": [[-2,-2], [-1,-1], [0,-2]], "color": "#10b981", "label": "Symétrie" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true\n}\n\n\n## 11. Groupe des isométries\n\nL'ensemble des isométries du plan muni de la composition forme un groupe :\n- Associativité\n- Élément neutre : identité\n- Tout élément a un inverse\n