Géométrie analytique dans l'espace

Le cours

1. Repère de l'espace\n\nUn repère orthonormé de l'espace est (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) avec \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} unitaires et orthogonaux deux à deux.\n\nCoordonnées : M(x,y,z) tel que \overrightarrow{OM} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\n\n## 2. Vecteur normal à un plan\n\nUn vecteur \vec{n} est normal à un plan P si pour toute droite D de P, \vec{n} est orthogonal à tout vecteur directeur de D.\n\nCaractérisation : Un plan est défini par un point A et un vecteur normal \vec{n}.\nM ∈ P ⇔ \overrightarrow{AM}·\vec{n} = 0\n\n## 3. Équation cartésienne d'un plan\n\nSi \vec{n}(a,b,c) est normal à P et A(x₀,y₀,z₀) ∈ P, alors :\n$$a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0$$\nSoit : $$ax + by + cz + d = 0$$ avec d = -ax₀-by₀-cz₀\n\nExemple : Le plan passant par A(1,2,3) de vecteur normal \vec{n}(2,-1,4) a pour équation :\n2(x-1) - 1(y-2) + 4(z-3) = 0 ⇒ 2x - y + 4z - 12 = 0\n\n## 4. Représentation paramétrique d'une droite\n\nUne droite D passant par A(x₀,y₀,z₀) de vecteur directeur \vec{u}(α,β,γ) a pour représentation paramétrique :\n$$\\begin{cases} x = x₀ + tα \\\\ y = y₀ + tβ \\\\ z = z₀ + tγ \\end{cases} \\quad t ∈ ℝ$$\n\n## 5. Positions relatives de deux plans\n\nSoient P: ax+by+cz+d=0 et P': a'x+b'y+c'z+d'=0.\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Deux plans] --> B{a,b,c proportionnels à a',b',c'?}\n B -->|Oui| C{rapport des constantes?}\n B -->|Non| D[Plans sécants]\n C -->|même| E[Plans confondus]\n C -->|différent| F[Plans strictement parallèles]\n\n\n## 6. Position relative droite-plan\n\nSoit D passant par A de vecteur \vec{u}, et P d'équation ax+by+cz+d=0 de vecteur normal \vec{n}.\n- D ⊂ P si A ∈ P et \vec{u}·\vec{n}=0\n- D ∥ P si A ∉ P et \vec{u}·\vec{n}=0\n- D sécante à P si \vec{u}·\vec{n}≠0\n\nPoint d'intersection : Résoudre le système formé par les équations de D et de P.\n\n## 7. Position relative de deux droites\n\nSoient D(A,\vec{u}) et D'(A',\vec{u}').\n- Si \vec{u} et \vec{u}' colinéaires :\n - Si A ∈ D' : droites confondues\n - Si A ∉ D' : droites parallèles\n- Si \vec{u} et \vec{u}' non colinéaires :\n - Si (\vec{u},\vec{u}',\overrightarrow{AA'}) coplanaires : droites sécantes\n - Sinon : droites non coplanaires\n\n## 8. Distance point-plan\n\nLa distance de M₀(x₀,y₀,z₀) au plan P: ax+by+cz+d=0 est :\n$$d(M₀,P) = \\frac{|ax₀+by₀+cz₀+d|}{\\sqrt{a²+b²+c²}}$$\n\nApplication : À l'usine de cacao d'Abidjan, calculer la distance entre un point de contrôle et le plan du convoyeur.\n\n## 9. Perpendicularité et parallélisme\n\nPlans perpendiculaires : \vec{n}·\vec{n}'=0\nDroite perpendiculaire à plan : \vec{u} colinéaire à \vec{n}\nPlans parallèles : \vec{n} et \vec{n}' colinéaires\n\n## 10. Problème architectural ivoirien\n\nÉnoncé : Dans la construction d'un pavillon à Yamoussoukro, on considère :\n- Plan du sol P: z=0\n- Plan d'un mur P': 2x+3y+z-6=0\n- Droite d'une poutre D: \begin{cases}x=1+t\\ y=2-t\\ z=3+2t\end{cases}\n\n1) Vérifier que P et P' sont sécants.\n2) Trouver leur droite d'intersection.\n3) Vérifier si la poutre D est perpendiculaire au mur P'.\n\nSolution :\n1) \vec{n}(0,0,1) et \vec{n}'(2,3,1) non colinéaires ⇒ plans sécants.\n2) Droite d'intersection : résoudre \begin{cases}z=0\\ 2x+3y+z-6=0\end{cases}\n⇒ 2x+3y-6=0 et z=0\n3) \vec{u}_D(1,-1,2), \vec{n}'(2,3,1). \vec{u}_D·\vec{n}'=2-3+2=1≠0 ⇒ pas perpendiculaire.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Plan et droite dans l'espace (projection)",\n "xRange": [-5, 5],\n "yRange": [-5, 5],\n "functions": [\n { "expression": "6-2*x-3*y", "color": "#3b82f6", "name": "Plan 2x+3y+z=6", "type": "surface", "opacity": 0.5 }\n ],\n "points": [\n { "x": 1, "y": 2, "z": 3, "label": "A", "color": "red" }\n ],\n "vectors": [\n { "origin": [1, 2, 3], "vector": [1, -1, 2], "color": "#ef4444", "label": "u" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true\n}\n