Fonctions logarithmes

Le cours

1. Définition de la fonction logarithme népérien\n\nDéfinition (par primitive) : La fonction logarithme népérien, notée $\\ln$, est l'unique primitive de la fonction $x \\mapsto \\frac{1}{x}$ sur $]0, +\\infty[$ qui s'annule en 1.\n$$\\forall x > 0, \\ln'(x) = \\frac{1}{x} \\quad \\text{et} \\quad \\ln(1)=0$$\n\nConséquences immédiates :\n- $\\ln$ est dérivable, donc continue, sur $]0, +\\infty[$.\n- Comme $\\ln'(x) = \\frac{1}{x} > 0$ pour $x>0$, la fonction $\\ln$ est strictement croissante sur son domaine.\n\n## 2. Propriétés algébriques fondamentales\n\nPour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, et pour tout entier relatif $n$ :\n\n1. Relation fonctionnelle (transformation des produits en sommes) :\n$\\ln(a \\times b) = \\ln a + \\ln b$.\n\n2. Logarithme d'un quotient :\n$\\ln\\left(\\frac{a}{b}\\right) = \\ln a - \\ln b$.\n\n3. Logarithme d'une puissance :\n$\\ln(a^n) = n \\ln a$.\n\nConséquence importante : $\\ln\\left(\\frac{1}{a}\\right) = -\\ln a$.\n\nCes propriétés expliquent l'utilité historique des logarithmes pour simplifier les calculs (règles à calcul, tables).\n\n## 3. Étude de la fonction $\\ln$\n\nDérivée et variations : $\\ln'(x)=\\frac{1}{x} > 0$, donc $\\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\\infty[$.\n\nLimites :\n- $\\lim_{x \\to 0^+} \\ln x = -\\infty$ (l'axe des ordonnées est asymptote verticale).\n- $\\lim_{x \\to +\\infty} \\ln x = +\\infty$.\n\nValeur particulière : $\\ln e = 1$, où $e \\approx 2.71828$ est le nombre d'Euler.\n\nReprésentation graphique :\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonction logarithme népérien",\n "xRange": [0, 10],\n "yRange": [-5, 3],\n "functions": [\n { "expression": "ln(x)", "color": "#8884d8", "name": "ln(x)" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "asymptotes": [\n { "type": "vertical", "x": 0 }\n ],\n "points": [\n { "x": 1, "y": 0, "label": "(1,0)" },\n { "x": 2.718, "y": 1, "label": "(e,1)" }\n ]\n}\n\n\n## 4. Logarithme décimal et logarithme de base $a$\n\nLogarithme décimal : Noté $\\log$ ou $\\log_{10}$. Défini par : $\\log x = \\frac{\\ln x}{\\ln 10}$ pour $x>0$.\nPropriété : $\\log(10^n) = n$. Très utilisé en chimie (pH, pKa) et avec les échelles logarithmiques (décibels, Richter).\n\nLogarithme de base $a$ : Pour $a>0$ et $a \\neq 1$, $\\log_a x = \\frac{\\ln x}{\\ln a}$ pour $x>0$.\nPropriété clé : $\\log_a(a^x)=x$ et $a^{\\log_a x}=x$ (fonctions réciproques).\n\n## 5. Croissance comparée de $\\ln$\n\nLimites fondamentales à connaître :\n1. $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{\\ln x}{x} = 0$.\n Le logarithme croît beaucoup plus lentement que toute fonction puissance $x^\\alpha$ (avec $\\alpha>0$).\n2. $\\lim_{x \\to 0^+} x \\ln x = 0$.\n\nComparaison en $+\\infty$ : Pour $n \\in \\mathbb{N}^*$, $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{\\ln x}{x^n} = 0$.\nComparaison en $0^+$ : $\\lim_{x \\to 0^+} x^n \\ln x = 0$ pour $n>0$.\n\n## 6. Équations et inéquations logarithmiques\n\nOn utilise la stricte croissance de $\\ln$ pour résoudre :\n\n- $\\ln A = \\ln B \\iff A = B$ (avec $A>0, B>0$).\n- $\\ln A < \\ln B \\iff A < B$ (avec $A>0, B>0$).\n\nAttention : Il faut toujours vérifier les conditions d'existence (arguments des $\\ln$ strictement positifs).\n\nExemple type : Résoudre $\\ln(2x-1) \\geq \\ln(x+3)$.\nConditions : $2x-1>0 \\Rightarrow x>\\frac{1}{2}$ et $x+3>0 \\Rightarrow x>-3$. Donc $x>\\frac{1}{2}$.\nPar croissance de $\\ln$ : $\\ln(2x-1) \\geq \\ln(x+3) \\iff 2x-1 \\geq x+3 \\iff x \\geq 4$.\nIl faut prendre l'intersection avec la condition $x>\\frac{1}{2}$. Donc $S=[4, +\\infty[$.\n\n## 7. Dérivation et primitives avec $\\ln$\n\nDérivée de $\\ln \\circ u$ : Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$, alors $(\\ln \\circ u)' = \\frac{u'}{u}$.\n\nDérivée de $\\ln |u|$ : Si $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$, alors $(\\ln |u|)' = \\frac{u'}{u}$. (Utile lorsque $u$ peut être négative).\n\nPrimitives à connaître : Une primitive de $\\frac{u'}{u}$ sur un intervalle où $u$ ne s'annule pas est $\\ln |u|$.\n\n## 8. Résolution de la situation d'apprentissage\n\nLe problème posé est : trouver le plus petit entier $n$ tel que $1 - 0.325^n > 0.98$.\n\nRésolution avec le logarithme :\n$1 - 0.325^n > 0.98 \\iff -0.325^n > -0.02 \\iff 0.325^n < 0.02$.\n\nOn applique le logarithme népérien (qui est strictement croissant, donc il conserve l'ordre) :\n$\\ln(0.325^n) < \\ln(0.02) \\iff n \\ln(0.325) < \\ln(0.02)$.\n\nAttention : $\\ln(0.325) \\approx -1.124$ est négatif. Lorsqu'on divise par un nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité :\n$n > \\frac{\\ln(0.02)}{\\ln(0.325)}$ (car on divise par $\\ln(0.325) < 0$).\n\nCalculs : $\\ln(0.02) \\approx -3.912$, $\\ln(0.325) \\approx -1.124$.\n$\\frac{\\ln(0.02)}{\\ln(0.325)} \\approx \\frac{-3.912}{-1.124} \\approx 3.48$.\nDonc $n > 3.48$. Le plus petit entier $n$ vérifiant cette inégalité est $n = 4$.\n\nInterprétation : Il faut examiner au moins 4 élèves pour que la probabilité d'en avoir au moins un non atteint dépasse 98%.\n\nGénéralisation : Pour résoudre une inéquation $q^n \\leq a$ (avec $0<q<1$ et $a>0$), on a : $n \\geq \\frac{\\ln a}{\\ln q}$ (car $\\ln q < 0$).