Fonctions exponentielles et fonctions puissances

Le cours

1. La fonction exponentielle népérienne\n\nDéfinition (comme réciproque) : La fonction exponentielle népérienne, notée $\\exp$ ou $x \\mapsto e^x$, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.\nAinsi, pour tout $x \\in \\mathbb{R}$ et tout $y > 0$ :\n$$y = e^x \\iff x = \\ln y$$\n\nConséquences immédiates :\n- Domaine de définition : $\\mathbb{R}$. Domaine d'arrivée : $]0, +\\infty[$.\n- $e^0 = 1$ (car $\\ln 1 = 0$).\n- $e^1 = e \\approx 2.71828$.\n- La fonction $\\exp$ est strictement croissante sur $\\mathbb{R}$ (car $\\ln$ l'est et elles sont réciproques).\n\n## 2. Propriétés algébriques fondamentales\n\nPour tous réels $x$ et $y$, et pour tout $n \\in \\mathbb{Z}$ :\n\n1. Transformation des sommes en produits :\n$e^{x+y} = e^x \\cdot e^y$.\n\n2. Exponentielle d'une différence :\n$e^{x-y} = \\frac{e^x}{e^y}$.\n\n3. Exponentielle d'un produit par un entier :\n$e^{nx} = (e^x)^n$.\n\nRelation avec $\\ln$ (équations fonctionnelles réciproques) :\n- $\\forall x \\in \\mathbb{R}, \\ln(e^x) = x$.\n- $\\forall x > 0, e^{\\ln x} = x$.\n\n## 3. Étude de la fonction $\\exp$\n\nDérivée : La fonction $\\exp$ est dérivable sur $\\mathbb{R}$ et $\\exp'(x) = \\exp(x)$.\nC'est l'unique fonction (à une constante multiplicative près) égale à sa propre dérivée.\n\nSens de variation : $\\exp'(x) = e^x > 0$, donc $\\exp$ est strictement croissante sur $\\mathbb{R}$.\n\nLimites :\n- $\\lim_{x \\to +\\infty} e^x = +\\infty$.\n- $\\lim_{x \\to -\\infty} e^x = 0^+$.\nL'axe des abscisses ($y=0$) est donc asymptote horizontale en $-\\infty$.\n\nReprésentation graphique :\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonction exponentielle népérienne",\n "xRange": [-3, 3],\n "yRange": [-1, 10],\n "functions": [\n { "expression": "exp(x)", "color": "#8884d8", "name": "exp(x) = e^x" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "asymptotes": [\n { "type": "horizontal", "y": 0 }\n ],\n "points": [\n { "x": 0, "y": 1, "label": "(0,1)" },\n { "x": 1, "y": 2.718, "label": "(1,e)" }\n ]\n}\n\n\n## 4. Fonction exponentielle de base $a$ ($a>0$, $a\\neq 1$)\n\nDéfinition : Pour $a > 0$ et $a \\neq 1$, la fonction exponentielle de base $a$ est définie par :\n$$\\forall x \\in \\mathbb{R}, \\, a^x = e^{x \\ln a}$$\n\nCas particuliers :\n- Si $a = e$, on retrouve l'exponentielle népérienne.\n- Si $a > 1$, alors $\\ln a > 0$ et la fonction $x \\mapsto a^x$ est strictement croissante.\n- Si $0 < a < 1$, alors $\\ln a < 0$ et la fonction $x \\mapsto a^x$ est strictement décroissante.\n\nPropriétés algébriques : Identiques à celles de $\\exp$ : $a^{x+y}=a^x a^y$, $a^{x-y}=a^x/a^y$, $(a^x)^y=a^{xy}$, etc.\n\n## 5. Fonctions puissances $x \\mapsto x^{\\alpha}$ ($\\alpha \\in \\mathbb{R}^*$)\n\nDéfinition : Pour $x > 0$ et $\\alpha \\in \\mathbb{R}$, on pose :\n$$x^{\\alpha} = e^{\\alpha \\ln x}$$\n\nRemarque : Cette définition étend la définition déjà connue pour $\\alpha \\in \\mathbb{Q}$.\n\nÉtude selon $\\alpha$ :\n- Si $\\alpha > 0$ : $\\lim_{x \\to 0^+} x^{\\alpha} = 0$ et $\\lim_{x \\to +\\infty} x^{\\alpha} = +\\infty$.\n- Si $\\alpha < 0$ : $\\lim_{x \\to 0^+} x^{\\alpha} = +\\infty$ et $\\lim_{x \\to +\\infty} x^{\\alpha} = 0^+$.\n- Dérivée : $(x^{\\alpha})' = \\alpha x^{\\alpha - 1}$ pour $x>0$.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonctions puissances x^α",\n "xRange": [0, 3],\n "yRange": [0, 5],\n "functions": [\n { "expression": "x^2", "color": "#8884d8", "name": "α=2 (croissance rapide)" },\n { "expression": "sqrt(x)", "color": "#82ca9d", "name": "α=0.5 (croissance lente)" },\n { "expression": "1/x", "color": "#ff7300", "name": "α=-1 (décroissante)" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true\n}\n\n\n## 6. Croissance comparée\n\nLimites fondamentales en $+\\infty$ :\n1. Pour tout $n \\in \\mathbb{N}^*$ : $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{e^x}{x^n} = +\\infty$.\n L'exponentielle croît beaucoup plus vite que toute puissance de $x$.\n2. $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{\\ln x}{x^n} = 0$ (déjà vue).\n\nLimites en $-\\infty$ : $\\lim_{x \\to -\\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n$ (car $e^x$ tend vers 0 très vite).\n\nLimites en $0$ : $\\lim_{x \\to 0^+} x^n \\ln x = 0$ pour $n>0$.\n\nHiérarchie en $+\\infty$ : Pour $x$ très grand : $\\ln x \\ll x^n \\ll e^x$.\n\n## 7. Dérivation et primitivation\n\nDérivée de $\\exp \\circ u$ : Si $u$ est dérivable, $(e^{u(x)})' = u'(x) e^{u(x)}$.\n\nDérivée de $u^{\\alpha}$ : Si $u$ est dérivable et strictement positive, $(u(x)^{\\alpha})' = \\alpha u'(x) u(x)^{\\alpha-1}$.\n\nPrimitives à connaître :\n- $\\int e^{u(x)} u'(x) \\, dx = e^{u(x)} + C$.\n- Pour $\\alpha \\neq -1$, $\\int u(x)^{\\alpha} u'(x) \\, dx = \\frac{u(x)^{\\alpha+1}}{\\alpha+1} + C$.\n\n## 8. Résolution de la situation et exemples ivoiriens\n\nPour la situation d'apprentissage : $M(t)=50 e^{-0.75t}$.\n- C'est une fonction exponentielle décroissante (base $e^{-0.75} \\approx 0.472 < 1$).\n- $M(0)=50$ mg (dose initiale).\n- $\\lim_{t \\to +\\infty} M(t)=0$ (le médicament est éliminé à long terme).\n- Demi-vie : temps $t_{1/2}$ tel que $M(t_{1/2})=25$.\n $50 e^{-0.75 t_{1/2}} = 25 \\iff e^{-0.75 t_{1/2}} = 0.5 \\iff -0.75 t_{1/2} = \\ln(0.5) \\iff t_{1/2} \\approx 0.924$ heure.\n\nExemple de modélisation en Côte d'Ivoire : La production de cacao dans une région suit un modèle de croissance exponentielle initiale : $P(t)=P_0 e^{0.04t}$, où $t$ est en années et $P_0$ la production initiale.\n1. Si $P_0=1000$ tonnes, quelle sera la production après 5 ans ? $P(5)=1000 e^{0.2} \\approx 1221$ tonnes.\n2. Combien d'années pour doubler la production ? Résoudre $e^{0.04t}=2 \\Rightarrow t=\\frac{\\ln 2}{0.04} \\approx 17.3$ ans.