Dérivabilité et étude de fonctions

Le cours

1. Dérivabilité en un point\n\nDérivée à gauche, à droite :\n- $f$ est dérivable à gauche en $x_0$ si $\\lim_{x \\to x_0^-} \\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe (finie). C'est le nombre dérivé à gauche, noté $f'_g(x_0)$.\n- Définition analogue à droite avec $f'_d(x_0)$.\n\nDérivabilité : $f$ est dérivable en $x_0$ si $f'_g(x_0)$ et $f'_d(x_0)$ existent et sont égales. Alors $f'(x_0)$ est cette valeur commune.\n\nFonction définie par intervalles : L'étude de la dérivabilité se fait au point de raccordement en calculant les dérivées à gauche et à droite.\nExemple : $f(x) = \\begin{cases} x^2 & \\text{si } x \\leq 1 \\\\ 2x-1 & \\text{si } x > 1 \\end{cases}$\nEn $x_0=1$ : $f'_g(1)=2\\times1=2$, $f'_d(1)=2$. Elles sont égales, donc $f$ est dérivable en 1 et $f'(1)=2$.\n\n## 2. Dérivées successives et nouvelles notations\n\nSi $f'$ est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde de $f$, notée $f''$.\nOn peut itérer : $f''$, $f^{(3)}$, ..., $f^{(n)}$.\n\nNouvelles notations (de Leibniz) :\n- $f'(x)$ se note aussi $\\frac{df}{dx}(x)$ ou $\\frac{d}{dx}f(x)$.\n- $f''(x)$ se note $\\frac{d^2f}{dx^2}(x)$.\n- $f^{(n)}(x)$ se note $\\frac{d^nf}{dx^n}(x)$.\n\nCes notations sont très utiles en physique et pour les équations différentielles.\n\n## 3. Dérivée d'une fonction composée (Théorème)\n\nSi $u$ est dérivable en $x$ et $v$ est dérivable en $u(x)$, alors $v \\circ u$ est dérivable en $x$ et $(v \\circ u)'(x) = v'(u(x)) \\times u'(x)$.\n\nApplications courantes :\n- $((u(x))^n)' = n u'(x) (u(x))^{n-1}$, $n \\in \\mathbb{Z}$.\n- $(\\sqrt{u(x)})' = \\frac{u'(x)}{2\\sqrt{u(x)}}$ pour $u(x)>0$.\n- $(e^{u(x)})' = u'(x) e^{u(x)}$.\n- $(\\ln(u(x)))' = \\frac{u'(x)}{u(x)}$ pour $u(x)>0$.\n- $(\\sin(u(x)))' = u'(x) \\cos(u(x))$.\n\n## 4. Dérivée de la fonction réciproque\n\nThéorème : Soit $f$ une fonction continue strictement monotone sur un intervalle $I$, réalisant une bijection de $I$ sur $J=f(I)$. Si $f$ est dérivable en $x_0 \\in I$ et si $f'(x_0) \\neq 0$, alors sa bijection réciproque $f^{-1}$ est dérivable en $y_0 = f(x_0)$ et :\n$(f^{-1})'(y_0) = \\frac{1}{f'(x_0)} = \\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$.\n\nExemple : Pour $f(x)=x^2$ sur $I=[0,+\\infty[$, $f^{-1}(x)=\\sqrt{x}$. On a $f'(x)=2x$. Pour $y_0>0$, $x_0=\\sqrt{y_0}$, alors $(f^{-1})'(y_0) = \\frac{1}{2\\sqrt{y_0}}$, ce qui est bien la dérivée de $\\sqrt{x}$.\n\n## 5. Inégalité des accroissements finis (IAF)\n\nPremière forme : Soit $f$ dérivable sur $[a,b]$. S'il existe $m, M \\in \\mathbb{R}$ tels que pour tout $x \\in [a,b]$, $m \\leq f'(x) \\leq M$, alors :\n$m(b-a) \\leq f(b)-f(a) \\leq M(b-a)$.\n\nDeuxième forme (conséquence) : Si $|f'(x)| \\leq k$ sur $[a,b]$, alors $|f(b)-f(a)| \\leq k|b-a|$.\n\nUtilisation : Pour démontrer des inégalités ou encadrer des valeurs.\nExemple : Montrer que pour $x>0$, $\\frac{x}{1+x} < \\ln(1+x) < x$.\n\n## 6. Étude et représentation graphique de fonctions types\n\nOn doit savoir représenter ou étudier des fonctions comme :\n\nFonctions puissances et racines : $x \\mapsto x^r$ ($r \\in \\mathbb{Q}$), $x \\mapsto \\sqrt[n]{x}$.\nFonctions trigonométriques affines : $x \\mapsto \\cos(ax+b)$, $x \\mapsto \\sin(ax+b)$, $x \\mapsto \\tan(ax+b)$.\nFonctions rationnelles simples : $x \\mapsto \\frac{ax+b}{cx^2+dx+e}$, $x \\mapsto \\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}$.\nFonctions avec racine carrée : $x \\mapsto \\sqrt{ax+b}$, $x \\mapsto \\sqrt{ax^2+bx+c}$.\nFonctions définies par raccordement, avec valeur absolue.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonctions avec valeur absolue et racine",\n "xRange": [-3, 3],\n "yRange": [-1, 5],\n "functions": [\n { "expression": "abs(x-1)", "color": "#8884d8", "name": "|x-1|" },\n { "expression": "sqrt(x+2)", "color": "#82ca9d", "name": "√(x+2)", "range": [-2, 3] }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true\n}\n\n\nPoints d'inflexion : Un point $A(a, f(a))$ est un point d'inflexion si la courbe traverse sa tangente en $A$. Si $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $A$ est un point d'inflexion.\n\n## 7. Stratégie générale d'étude d'une fonction\n\n1. Ensemble de définition (maximal).\n2. Parité / Périodicité (pour réduire l'intervalle d'étude).\n3. Dérivabilité et calcul de la dérivée $f'(x)$.\n4. Signe de $f'(x)$ et tableau de variations (avec limites aux bornes).\n5. Dérivée seconde (pour convexité/concavité et points d'inflexion).\n6. Limites et asymptotes (verticales, horizontales, obliques).\n7. Représentation graphique (points remarquables, tangentes).\n\n## 8. Exemple contextuel ivoirien (étude de la situation du proviseur)\n\nSupposons qu'après modélisation géométrique, on trouve $g(\\theta) = \\frac{4}{\\cos\\theta} + 2\\sin\\theta - 2$ pour $\\theta \\in [0, \\frac{\\pi}{2}]$, représentant la longueur totale des tuyaux.\n1. Étudier les variations de $g$ sur $[0, \\frac{\\pi}{2}]$.\n2. En déduire la longueur minimale de tuyaux à prévoir.\n\nRésolution :\n1. $g$ est dérivable sur $[0, \\frac{\\pi}{2}]$ (combinaison de fonctions dérivables).\n$g'(\\theta) = 4 \\cdot \\frac{\\sin\\theta}{\\cos^2\\theta} + 2\\cos\\theta = \\frac{4\\sin\\theta + 2\\cos^3\\theta}{\\cos^2\\theta}$.\nLe dénominateur $\\cos^2\\theta > 0$ sur $[0, \\frac{\\pi}{2}[$. Étudions le signe du numérateur $N(\\theta)=4\\sin\\theta + 2\\cos^3\\theta$.\n$N'(\\theta) = 4\\cos\\theta - 6\\cos^2\\theta \\sin\\theta = 2\\cos\\theta(2 - 3\\cos\\theta \\sin\\theta)$.\nSur $[0, \\frac{\\pi}{2}]$, $\\cos\\theta \\geq 0$. Le terme $(2 - 3\\cos\\theta \\sin\\theta)$ est positif pour $\\theta$ proche de 0 ($2-0>0$) et peut devenir négatif. On trouve que $N(\\theta)$ est d'abord croissante puis décroissante, avec $N(0)=2>0$ et $N(\\frac{\\pi}{2})=4>0$. Elle reste probablement positive. On vérifie en un point intermédiaire, $\\theta=\\frac{\\pi}{4}$ : $N(\\frac{\\pi}{4})=4\\frac{\\sqrt{2}}{2}+2(\\frac{\\sqrt{2}}{2})^3 = 2\\sqrt{2}+ \\frac{\\sqrt{2}}{2} >0$.\nDonc $N(\\theta) > 0$ sur $[0, \\frac{\\pi}{2}[$, et $g'(\\theta) > 0$ sur cet intervalle.\n2. La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[0, \\frac{\\pi}{2}]$. Elle atteint donc son minimum à l'extrémité gauche.\n$g(0) = \\frac{4}{1} + 0 - 2 = 2$ mètres (c'est une valeur simplifiée pour l'exemple).\nConclusion : La longueur minimale de tuyaux à utiliser est de 2 mètres, obtenue pour $\\theta = 0$ (configuration particulière).