Calcul intégral

Le cours

1. Définition intuitive et notation\n\nPour une fonction $f$ continue et positive sur $[a, b]$, l'intégrale $\\int_a^b f(x) \\, dx$ représente l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales $x=a$ et $x=b$.\n\nExtension aux fonctions de signe quelconque : Pour $f$ continue sur $[a,b]$, l'intégrale représente l'aire algébrique. Les aires au-dessus de l'axe des abscisses ($f \\geq 0$) sont comptées positivement, celles en dessous ($f \\leq 0$) négativement.\n\nNotation : $\\int_a^b f(x) \\, dx$ se lit "intégrale de $a$ à $b$ de $f(x) \\, dx$".\n- $a$ et $b$ sont les bornes d'intégration.\n- $x$ est la variable d'intégration (muette, peut être remplacée par $t$, $u$, etc.).\n\n## 2. Lien avec les primitives : Théorème fondamental\n\nThéorème (admis) : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $a \\in I$. La fonction $F$ définie sur $I$ par $F(x) = \\int_a^x f(t) \\, dt$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$.\n\nConséquence pratique (Calcul d'une intégrale définie) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $G$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$, alors :\n$$\\int_a^b f(x) \\, dx = G(b) - G(a)$$\nOn note souvent $\\Big[ G(x) \\Big]_a^b$ ou $G(x) \\Big|_a^b$ pour $G(b)-G(a)$.\n\n## 3. Propriétés algébriques de l'intégrale\n\nSoient $f$ et $g$ continues sur $[a, b]$, $\\lambda \\in \\mathbb{R}$.\n\n1. Linéarité : $\\int_a^b (\\lambda f(x) + g(x)) \\, dx = \\lambda \\int_a^b f(x) \\, dx + \\int_a^b g(x) \\, dx$.\n\n2. Relation de Chasles : Pour tout $c \\in [a, b]$, $\\int_a^b f(x) \\, dx = \\int_a^c f(x) \\, dx + \\int_c^b f(x) \\, dx$.\n\n3. Positivité : Si $f(x) \\geq 0$ sur $[a, b]$, alors $\\int_a^b f(x) \\, dx \\geq 0$.\n\n4. Comparaison : Si $f(x) \\leq g(x)$ sur $[a, b]$, alors $\\int_a^b f(x) \\, dx \\leq \\int_a^b g(x) \\, dx$.\n\n5. Valeur absolue : $\\left| \\int_a^b f(x) \\, dx \\right| \\leq \\int_a^b |f(x)| \\, dx$.\n\n## 4. Techniques de calcul d'intégrales\n\n1. Utilisation directe d'une primitive : Le plus courant.\nEx : $\\int_0^1 x^2 \\, dx = \\left[ \\frac{x^3}{3} \\right]_0^1 = \\frac{1}{3} - 0 = \\frac{1}{3}$.\n\n2. Intégration par parties (IPP) :\nSi $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $[a,b]$, alors :\n$$\\int_a^b u(x) v'(x) \\, dx = \\Big[ u(x) v(x) \\Big]_a^b - \\int_a^b u'(x) v(x) \\, dx$$\nCette formule est utile lorsque l'intégrale de droite est plus simple.\nEx : $\\int_0^1 x e^x \\, dx$. On pose $u(x)=x$, $v'(x)=e^x$.\n\n3. Changement de variable affine :\nSoit $f$ continue sur $I$ et $\\varphi : t \\mapsto \\alpha t + \\beta$ une fonction affine bijective de $[c, d]$ sur $[a, b]$. Alors :\n$$\\int_a^b f(x) \\, dx = \\int_c^d f(\\varphi(t)) \\, \\varphi'(t) \\, dt$$\nEx : Calculer $\\int_0^2 (2x+1)^3 \\, dx$. Poser $u=2x+1$.\n\n## 5. Valeur moyenne d'une fonction\n\nDéfinition : La valeur moyenne de la fonction continue $f$ sur l'intervalle $[a, b]$ est le nombre réel :\n$$\\mu = \\frac{1}{b-a} \\int_a^b f(x) \\, dx$$\n\nInterprétation géométrique : C'est la hauteur du rectangle de base $[a, b]$ qui a la même aire que l'aire sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Valeur moyenne μ d'une fonction",\n "xRange": [0, 5],\n "yRange": [0, 4],\n "functions": [\n { "expression": "sin(x)+2", "color": "#8884d8", "name": "f(x)", "fill": "tozeroy" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "constant": { "value": 2.3, "color": "#ff7300", "name": "μ", "lineStyle": "dashed" },\n "area": { "xStart": 0, "xEnd": 5, "yStart": 0, "yEnd": 2.3, "color": "rgba(255, 115, 0, 0.2)" }\n}\n\n\n## 6. Inégalité de la moyenne\n\nThéorème : Soit $f$ continue sur $[a, b]$. S'il existe $m, M \\in \\mathbb{R}$ tels que $m \\leq f(x) \\leq M$ pour tout $x \\in [a,b]$, alors :\n$$m(b-a) \\leq \\int_a^b f(x) \\, dx \\leq M(b-a)$$\n\nDeuxième forme : Si $|f(x)| \\leq M$ sur $[a,b]$, alors $\\left| \\int_a^b f(x) \\, dx \\right| \\leq M(b-a)$.\n\n## 7. Calcul d'aires planes\n\nAire entre la courbe et l'axe des abscisses : Pour $f$ continue sur $[a,b]$, l'aire géométrique (toujours positive) est :\n$$\\mathcal{A} = \\int_a^b |f(x)| \\, dx$$\nEn pratique, on détermine les intervalles où $f$ est positive/négative et on utilise la relation de Chasles.\n\nAire entre deux courbes : Si $f$ et $g$ sont continues avec $f(x) \\geq g(x)$ sur $[a,b]$, l'aire entre les courbes est :\n$$\\mathcal{A} = \\int_a^b (f(x) - g(x)) \\, dx$$\n\n## 8. Exemple contextuel ivoirien\n\nUn architecte souhaite calculer la surface vitrée d'une baie de forme incurvée dans un nouveau bâtiment à Yamoussoukro. La forme de la baie est modélisée par la région du plan comprise entre la courbe de la fonction $f(x)=4 - x^2$ et l'axe des abscisses, pour $x$ entre $-1$ et $2$.\n1. Faire un schéma et calculer l'aire de cette surface vitrée.\n2. Calculer la hauteur moyenne de la baie sur l'intervalle $[-1, 2]$.\n\nRésolution :\n1. Calcul de l'aire : La fonction $f(x)=4-x^2$ est positive sur $[-1,2]$ ? Il faut vérifier.\n Racines : $4-x^2=0 \\iff x= -2$ ou $x=2$. Sur $[-1,2]$, $f(x) \\geq 0$ car $x^2 \\leq 4$.\n L'aire est donc $\\mathcal{A} = \\int_{-1}^{2} (4-x^2) \\, dx$.\n Une primitive : $G(x)=4x - \\frac{x^3}{3}$.\n $\\mathcal{A} = \\left[4x - \\frac{x^3}{3}\\right]_{-1}^{2} = (8 - \\frac{8}{3}) - (-4 - \\frac{-1}{3}) = (\\frac{24-8}{3}) - (-4 + \\frac{1}{3}) = \\frac{16}{3} - (\\frac{-12+1}{3}) = \\frac{16}{3} - \\frac{-11}{3} = \\frac{16+11}{3} = \\frac{27}{3} = 9$.\n L'aire de la surface vitrée est de 9 unités d'aire. Si l'unité est le mètre, c'est 9 m².\n\n2. Hauteur moyenne : C'est la valeur moyenne de $f$ sur $[-1,2]$.\n $\\mu = \\frac{1}{2 - (-1)} \\int_{-1}^{2} (4-x^2) \\, dx = \\frac{1}{3} \\times 9 = 3$.\n La hauteur moyenne de la baie est de 3 unités (par exemple, 3 mètres).