Coniques

Le cours

1. Définition générale des coniques\n\nUne conique est l'ensemble des points M du plan tels que MF/MH = e (excentricité), où F est un foyer, D une directrice, et H le projeté orthogonal de M sur D.\n\n| Type | Excentricité e |\n|------|----------------|\n| Ellipse | 0 < e < 1 |\n| Parabole | e = 1 |\n| Hyperbole | e > 1 |\n\n## 2. La parabole\n\nÉquation réduite : y² = 2px (axe Ox) ou x² = 2py (axe Oy)\nÉléments caractéristiques :\n- Foyer F(p/2, 0) pour y²=2px\n- Directrice : x = -p/2\n- Paramètre p = distance foyer-directrice\n- Sommet O(0,0)\n\nApplication ivoirienne : À Yamoussoukro, les projecteurs du stade utilisent des réflecteurs paraboliques. Si un projecteur a pour équation y²=8x, alors p=4, foyer F(2,0), directrice x=-2.\n\n## 3. L'ellipse\n\nÉquation réduite (centre O, axes de symétrie Ox et Oy) :\n$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1$$\navec a ≥ b > 0\n\nÉléments caractéristiques :\n- Foyers F(c,0) et F'(-c,0) avec c² = a² - b²\n- Sommets : (±a,0) et (0,±b)\n- Excentricité e = c/a (0 < e < 1)\n- Directrices : x = ±a/e\n\n## 4. L'hyperbole\n\nÉquation réduite :\n$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1$$\n\nÉléments caractéristiques :\n- Foyers F(c,0) et F'(-c,0) avec c² = a² + b²\n- Sommets : (±a,0)\n- Excentricité e = c/a > 1\n- Asymptotes : y = ±(b/a)x\n\n## 5. Transformation de l'équation générale\n\nÉquation générale : ax² + by² + 2cx + 2dy + e = 0 (a,b non tous nuls)\n\nMéthode : Mettre sous forme canonique par complétion du carré.\n\nExemple : 4x² + 9y² - 16x + 18y - 11 = 0\n4(x²-4x) + 9(y²+2y) = 11\n4[(x-2)²-4] + 9[(y+1)²-1] = 11\n4(x-2)² + 9(y+1)² = 11+16+9 = 36\n$$\\frac{(x-2)^2}{9} + \\frac{(y+1)^2}{4} = 1$$\nC'est une ellipse de centre (2,-1), a=3, b=2.\n\n## 6. Propriété focale de la parabole\n\nTout rayon parallèle à l'axe de la parabole se réfléchit en passant par le foyer. C'est le principe des fours solaires et des télescopes.\n\nApplication au four solaire : Si on veut construire un four solaire à Bouaké avec un miroir parabolique de 2m de diamètre et 0.5m de profondeur, déterminons l'équation et la position du foyer.\nPrenons y²=2px. Le point (0.5,1) est sur la parabole (demi-diamètre).\nDonc 1²=2p×0.5 ⇒ 1=p ⇒ p=1\nÉquation : y²=2x\nFoyer F(0.5,0) : il faut placer la casserole à 0.5m du sommet.\n\n## 7. Courbures et tangentes\n\nL'équation de la tangente à la conique en un point M₀(x₀,y₀) s'obtient par «dédoublement» :\n- Ellipse x²/a²+y²/b²=1 : xx₀/a²+yy₀/b²=1\n- Parabole y²=2px : yy₀=p(x+x₀)\n\n## 8. Applications astronomiques\n\nLes planètes décrivent des ellipses dont le Soleil est un foyer (1ère loi de Kepler).\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Les trois types de coniques",\n "xRange": [-5, 5],\n "yRange": [-5, 5],\n "functions": [\n { "expression": "sqrt(4-4*x*x/9)", "color": "#3b82f6", "name": "Ellipse x²/9+y²/4=1" },\n { "expression": "-sqrt(4-4*x*x/9)", "color": "#3b82f6", "name": "" },\n { "expression": "sqrt(2*x)", "color": "#ef4444", "name": "Parabole y²=2x", "domain": [0, 5] },\n { "expression": "-sqrt(2*x)", "color": "#ef4444", "name": "", "domain": [0, 5] },\n { "expression": "2*sqrt(x*x/4-1)", "color": "#10b981", "name": "Hyperbole x²/4-y²/4=1", "domain": [2, 5] },\n { "expression": "-2*sqrt(x*x/4-1)", "color": "#10b981", "name": "", "domain": [2, 5] }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y"\n}\n\n\n## 9. Récapitulatif des éléments caractéristiques\n\n| Conique | Équation réduite | Foyers | Directrices | Excentricité |\n|---------|------------------|--------|-------------|--------------|\n| Parabole | y²=2px | F(p/2,0) | x=-p/2 | e=1 |\n| Ellipse | x²/a²+y²/b²=1 | F(c,0), F'(-c,0) c²=a²-b² | x=±a/e | e=c/a<1 |\n| Hyperbole | x²/a²-y²/b²=1 | F(c,0), F'(-c,0) c²=a²+b² | x=±a/e | e=c/a>1 |\n\n## 10. Problèmes de lieux géométriques\n\nExemple : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, trouver le lieu des points M tels que MF/MH=2 où F(1,0) et D: x=4.\nMF² = (x-1)²+y²\nMH² = (x-4)²\nMF/MH=2 ⇒ MF²=4MH²\n(x-1)²+y²=4(x-4)²\nDéveloppons : x²-2x+1+y²=4(x²-8x+16)=4x²-32x+64\n0=3x²-30x+63-y²\ny²=3x²-30x+63\nMise sous forme canonique : y²=3(x²-10x+21)=3[(x-5)²-4]\n3(x-5)²-y²=12\n$$\\frac{(x-5)^2}{4} - \\frac{y^2}{12} = 1$$\nC'est une hyperbole.