Barycentre et lignes de niveaux

Le cours

1. Définition du barycentre\n\nSoient A₁, A₂, ..., Aₙ des points du plan ou de l'espace et α₁, α₂, ..., αₙ des réels tels que ∑αᵢ ≠ 0. Il existe un unique point G tel que :\n$$\\sum_{i=1}^{n} \\alpha_i \\overrightarrow{GA_i} = \\vec{0}$$\n\nG est appelé barycentre des points (Aᵢ, αᵢ).\n\n## 2. Propriété fondamentale\n\nPour tout point M du plan :\n$$\\sum_{i=1}^{n} \\alpha_i \\overrightarrow{MA_i} = \\left(\\sum_{i=1}^{n} \\alpha_i\\right) \\overrightarrow{MG}$$\n\nExemple contextualisé : À Abidjan, trois dépôts pétroliers A, B, C stockent respectivement 20, 30 et 50 tonnes. Le barycentre G des points A, B, C affectés des coefficients 20, 30, 50 représente la position optimale pour construire une raffinerie minimisant les distances de transport pondérées.\n\n## 3. Coordonnées du barycentre\n\nDans un repère, si Aᵢ(xᵢ, yᵢ), alors G(x_G, y_G) avec :\n$$x_G = \\frac{\\sum \\alpha_i x_i}{\\sum \\alpha_i}, \\quad y_G = \\frac{\\sum \\alpha_i y_i}{\\sum \\alpha_i}$$\n\n## 4. Réduction de ∑αᵢMAᵢ²\n\nThéorème important :\nPour tout point M :\n$$\\sum_{i=1}^{n} \\alpha_i MA_i^2 = \\left(\\sum \\alpha_i\\right) MG^2 + \\sum_{i=1}^{n} \\alpha_i GA_i^2$$\n\nDémonstration :\nMAᵢ² = \overrightarrow{MA_i}·\overrightarrow{MA_i}\n= (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA_i})·(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA_i})\n= MG² + 2\overrightarrow{MG}·\overrightarrow{GA_i} + GAᵢ²\nEn sommant : ∑αᵢMAᵢ² = (∑αᵢ)MG² + 2\overrightarrow{MG}·(∑αᵢ\overrightarrow{GAᵢ}) + ∑αᵢGAᵢ²\nOr ∑αᵢ\overrightarrow{GAᵢ} = \vec{0} par définition de G.\n\n## 5. Lignes de niveau de M → ∑αᵢMAᵢ²\n\nL'ensemble {M | ∑αᵢMAᵢ² = k} est :\n- Un cercle de centre G si ∑αᵢ ≠ 0 et k > ∑αᵢGAᵢ²\n- Le point G si k = ∑αᵢGAᵢ²\n- L'ensemble vide si k < ∑αᵢGAᵢ²\n\n## 6. Lignes de niveau de M → MA/MB\n\nL'ensemble {M | MA/MB = k} avec k > 0 :\n- Si k = 1 : médiatrice de [AB]\n- Si k ≠ 1 : cercle d'Apollonius\n\nApplication géographique : À San-Pédro, un navire se trouve à des distances des ports A et B dans le rapport 2:1. Tracer le cercle d'Apollonius correspondant.\n\n## 7. Lignes de niveau de M → Mes(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB})\n\nL'ensemble {M | (\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}) = θ [π]} est un arc capable de l'angle θ.\n\n## 8. Théorème des barycentres partiels\n\nSi on regroupe des points, le barycentre global est le barycentre des barycentres partiels affectés des sommes des coefficients.\n\n## 9. Applications physiques\n\nLe barycentre correspond au centre de gravité en mécanique. Dans la situation de la baignoire :\nSoit x la quantité d'eau bouillante (100°C) et y la quantité d'eau froide (10°C).\nTempérature moyenne = (100x + 10y)/(x+y) = 34°C\nVolume total : x+y = 30L\n\nRésolution du système :\n$$\\begin{cases} 100x + 10y = 34(x+y) \\\\ x+y = 30 \\end{cases}$$\n$$100x + 10(30-x) = 34×30$$\n$$100x + 300 - 10x = 1020$$\n$$90x = 720 \\Rightarrow x = 8L$$\n\n## 10. Construction géométrique\n\nMéthode pour construire le barycentre de 3 points pondérés :\n1. Construire le barycentre G₁ de (A,α) et (B,β)\n2. Construire le barycentre G de (G₁, α+β) et (C,γ)\n\nmathgraph\n{\n "type": "points",\n "title": "Barycentre de 3 points pondérés",\n "xRange": [0, 10],\n "yRange": [0, 10],\n "points": [\n { "x": 2, "y": 3, "label": "A(2,3)", "coefficient": 2 },\n { "x": 7, "y": 4, "label": "B(7,4)", "coefficient": 3 },\n { "x": 4, "y": 8, "label": "C(4,8)", "coefficient": 5 },\n { "x": 4.5, "y": 5.7, "label": "G", "color": "red", "size": 8 }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true\n}\n