Systèmes linéaires dans \\mathbb{R} \\times \\mathbb{R}

Le cours

1. Définition d'un système linéaire\n\nUn système linéaire dans \mathbb{R} \times \mathbb{R} est un ensemble de deux équations du premier degré à deux inconnues, généralement notées $x$ et $y$, de la forme :\n$$\\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\\\ a_2 x + b_2 y = c_2 \\end{cases}$$\noù $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ sont des nombres réels.\n\n## 2. Méthodes de résolution algébrique\n\nMéthode de substitution :\n1. Exprimer une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une équation.\n2. Remplacer cette expression dans la deuxième équation.\n3. Résoudre l'équation à une inconnue obtenue.\n4. Déduire la valeur de la deuxième inconnue.\n\nMéthode de combinaison linéaire :\n1. Multiplier les équations par des coefficients appropriés pour éliminer une inconnue.\n2. Additionner ou soustraire les équations pour obtenir une équation à une inconnue.\n3. Résoudre cette équation puis reporter la valeur trouvée.\n\n## 3. Interprétation graphique\n\nChaque équation $ax + by = c$ représente une droite dans le plan. La solution du système correspond aux coordonnées du point d'intersection des deux droites. Trois cas se présentent :\n\n| Cas | Nature du système | Interprétation géométrique |\n|-----|-------------------|----------------------------|\n| 1 | Solution unique | Les deux droites sont sécantes |\n| 2 | Aucune solution | Les deux droites sont parallèles |\n| 3 | Infinité de solutions | Les deux droites sont confondues |\n\n## 4. Systèmes d'inéquations linéaires\n\nUn système d'inéquations du premier degré comme :\n$$\\begin{cases} 3x + 5y \\leq 360 \\\\ 50x + 150y \\leq 9000 \\\\ x \\geq 0, y \\geq 0 \\end{cases}$$\na pour ensemble solution l'intersection des demi-plans définis par chaque inéquation. Cet ensemble, souvent polygonal, peut être représenté graphiquement.\n\n## 5. Changement de variable pour systèmes spéciaux\n\nPour résoudre des systèmes du type :\n$$\\begin{cases} 2\\ln x + 3\\ln y = 5 \\\\ \\ln x - \\ln y = 1 \\end{cases}$$\non pose $X = \\ln x$ et $Y = \\ln y$, ce qui donne le système linéaire :\n$$\\begin{cases} 2X + 3Y = 5 \\\\ X - Y = 1 \\end{cases}$$\nOn résout ce système, puis on revient aux variables initiales par $x = e^X$ et $y = e^Y$.\n\n## 6. Applications à la programmation linéaire (exemple)\n\nProblème : Un agriculteur de Bouaké dispose de 10 hectares et de 40 000 FCFA pour cultiver du maïs (bénéfice : 15 000 FCFA/ha, coût : 5 000 FCFA/ha) et du riz (bénéfice : 12 000 FCFA/ha, coût : 4 000 FCFA/ha). Combien d'hectares consacrer à chaque culture pour maximiser son bénéfice ?\n\nModélisation :\nSoit $x$ : hectares de maïs, $y$ : hectares de riz.\nContraintes : $x + y \\leq 10$, $5000x + 4000y \\leq 40000$, $x \\geq 0$, $y \\geq 0$.\nObjectif : Maximiser $B = 15000x + 12000y$.\n\n## 7. Résolution graphique d'un problème d'optimisation\n\n1. Tracer le polygone des contraintes.\n2. Évaluer la fonction objectif aux sommets du polygone.\n3. Choisir le sommet donnant la valeur optimale.\n\n## 8. Exercice typique contextualisé\n\nÉnoncé : Une entreprise de transport à Abidjan propose deux types de véhicules : des minibus de 16 places et des bus de 50 places. Pour un voyage scolaire à San-Pédro, 400 élèves doivent être transportés. L'entreprise a 15 chauffeurs disponibles. Un minibus nécessite 1 chauffeur et coûte 25 000 FCFA, un bus nécessite 2 chauffeurs et coûte 60 000 FCFA. Minimiser le coût total du transport.