Suites numériques

Le cours

## 1. Définitions\n\nUne suite numérique est une fonction définie sur $\\mathbb{N}$ (ou une partie) à valeurs dans $\\mathbb{R}$. On note $u_n$ l'image de $n$.\n\nSuite arithmétique : il existe un réel $r$ (raison) tel que pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n + r$.\nSuite géométrique : il existe un réel $q$ (raison) tel que pour tout $n$, $u_{n+1}=q \\times u_n$, avec $u_0 \\neq 0$ et $q \\neq 0$.\n\n## 2. Terme général\n\nPour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et raison $r$ :\n$$u_n = u_0 + n \\times r$$\nOu, plus généralement, $u_n = u_p + (n-p)r$ pour $p \\leq n$.\n\nPour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et raison $q$ :\n$$u_n = u_0 \\times q^n$$\nOu $u_n = u_p \\times q^{n-p}$.\n\n## 3. Sens de variation\n\nSuite arithmétique :\n- Croissante si $r > 0$\n- Décroissante si $r < 0$\n- Constante si $r = 0$\n\nSuite géométrique (avec $u_0 > 0$) :\n- Croissante si $q > 1$\n- Décroissante si $0 < q < 1$\n- Constante si $q = 1$\n- Non monotone si $q < 0$ (termes alternés)\n\n## 4. Somme de termes consécutifs\n\nPour une suite arithmétique :\n$$S = u_p + u_{p+1} + \\dots + u_n = \\frac{(\\text{nombre de termes}) \\times (\\text{premier terme} + \\text{dernier terme})}{2}$$\n$$S = (n-p+1) \\times \\frac{u_p + u_n}{2}$$\n\nPour une suite géométrique (avec $q \\neq 1$) :\n$$S = u_p + u_{p+1} + \\dots + u_n = u_p \\times \\frac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$$\nSi $p=0$ et $n$ termes : $S = u_0 \\times \\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.\n\n## 5. Représentation graphique\n\nLes suites arithmétiques se représentent par des points alignés sur une droite.\nLes suites géométriques (à termes positifs) se représentent par des points sur une courbe exponentielle.\n\nmathgraph\\n{\ \"type\": \"sequence\",\n \"title\": \"Suite arithmétique : uₙ = 2n + 1\",\n \"sequence\": {\n \"expression\": \"2*n + 1\",\n \"nRange\": [0, 10],\n \"color\": \"#ef4444\",\n \"label\": \"uₙ = 2n + 1\"\n }\n}\n\n\nmathgraph\\n{\ \"type\": \"sequence\",\n \"title\": \"Suite géométrique : uₙ = 3 × 2ⁿ\",\n \"sequence\": {\n \"expression\": \"3 * pow(2, n)\",\n \"nRange\": [0, 5],\n \"color\": \"#f59e0b\",\n \"label\": \"uₙ = 3 × 2ⁿ\"\n }\n}\n\n\n## 6. Modélisation de l'option 1 (intérêts simples)\n\nCapital initial $C_0=300000$.\nAugmentation mensuelle fixe : $r=2500$.\nLa suite $(C_n)$ du capital mois par mois est arithmétique :\n$C_n = 300000 + 2500n$ (en FCFA, $n$ en mois).\nOn cherche $n$ tel que $C_n \\geq 400000$ :\n$300000 + 2500n \\geq 400000$\n$2500n \\geq 100000$\n$n \\geq 40$ mois (soit 3 ans et 4 mois).\n\n## 7. Modélisation de l'option 2 (intérêts composés à 3% par mois)\n\nCapital initial $C_0=300000$.\nAugmentation de 3% par mois : multiplication par $1.03$ chaque mois.\nLa suite $(C_n)$ est géométrique de raison $q=1.03$ :\n$C_n = 300000 \\times (1.03)^n$.\nOn cherche $n$ tel que $300000 \\times (1.03)^n \\geq 400000$\n$(1.03)^n \\geq \\frac{400000}{300000} = \\frac{4}{3} \\approx 1.3333$\nAppliquons $\\ln$ (fonction croissante) :\n$n \\ln(1.03) \\geq \\ln(4/3)$\n$n \\geq \\frac{\\ln(4/3)}{\\ln(1.03)} \\approx \\frac{0.2877}{0.02956} \\approx 9.73$\nDonc $n \\geq 10$ mois.\n\n## 8. Conclusion et interprétation\n\nOption 1 : nécessite 40 mois pour atteindre 400 000 FCFA.\nOption 2 : nécessite 10 mois.\n→ L'option 2 (intérêts composés) est bien plus avantageuse. Le groupe atteindra son objectif avant août 2018 (10 mois à partir de janvier = octobre 2018, légèrement après la date souhaitée d'août).\n\nGénéralisation : Les intérêts composés (géométrique) sont toujours plus efficaces à long terme que les intérêts simples (arithmétique) pour un même taux équivalent.