Étude de fonctions polynômes et de fonctions rationnelles

Le cours

## 1. Fonctions polynômes : définitions et propriétés\n\nUne fonction polynôme de degré $n$ est de la forme :\n$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \\dots + a_1 x + a_0$$\noù $a_n \\neq 0$. Au programme : degré $\\leq 3$.\n\nLimite à l'infini : Pour $x \\to \\pm\\infty$, la limite est donnée par le terme de plus haut degré. Exemple : $\\lim_{x\\to+\\infty} (2x^3 - 5x + 1) = +\\infty$.\n\n## 2. Fonctions rationnelles : définitions\n\nUne fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes : $f(x) = \\frac{P(x)}{Q(x)}$ avec $Q(x) \\neq 0$.\nDeux types au programme :\n1. Homographique : $f(x) = \\frac{ax+b}{cx+d}$ avec $c \\neq 0$\n2. Forme $f(x) = \\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}$ avec $a \\neq 0, d \\neq 0$\n\n## 3. Calcul des limites\n\nEn un point $a$ où la fonction est définie : limite = $f(a)$.\nEn un point où le dénominateur s'annule : on étudie le signe du dénominateur autour de $a$.\nExemple : $\\lim_{x\\to 2} \\frac{1}{x-2}$ n'existe pas car $\\lim_{x\\to 2^+} = +\\infty$ et $\\lim_{x\\to 2^-} = -\\infty$.\n\nÀ l'infini :\nPour $f(x)=\\frac{P(x)}{Q(x)}$, on factorise par les termes de plus haut degré.\n$$\\lim_{x\\to+\\infty} \\frac{3x^2-5x+1}{2x^2+4} = \\lim_{x\\to+\\infty} \\frac{x^2(3-\\frac{5}{x}+\\frac{1}{x^2})}{x^2(2+\\frac{4}{x^2})} = \\frac{3}{2}$$\n\n## 4. Asymptotes\n\n| Type | Condition | Équation |\n|------|-----------|----------|\n| Verticale | $\\lim_{x\\to a} f(x) = \\pm\\infty$ | $x = a$ |\n| Horizontale | $\\lim_{x\\to \\pm\\infty} f(x) = b$ | $y = b$ |\n| Oblique | $\\lim_{x\\to \\pm\\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$ | $y = ax+b$ |\n\nExemple : $f(x)=\\frac{2x^2+3x-1}{x-2}$ a une asymptote oblique car degré(numérateur) = degré(dénominateur) + 1.\n\n## 5. Dérivation et variations\n\nPour $f(x)=P(x)$ (polynôme) : $f'(x)=P'(x)$ (formules usuelles).\nPour $f(x)=\\frac{P(x)}{Q(x)}$ : $f'(x)=\\frac{P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)}{[Q(x)]^2}$.\nLe signe de $f'(x)$ donne les variations de $f$.\n\nExemple : $f(x)=x^3-6x^2+9x$, $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.\nTableau de variations sur $\\mathbb{R}$ :\n\nmathgraph\\n{\ \"type\": \"function\",\n \"title\": \"f(x) = x³ - 6x² + 9x\",\n \"xRange\": [-1, 5],\n \"yRange\": [-5, 15],\n \"functions\": [\n { \"expression\": \"x^3 - 6*x^2 + 9*x\", \"color\": \"#3b82f6\", \"name\": \"f(x)\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"x\",\n \"yLabel\": \"y\"\n}\n\n\n## 6. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)\n\nSi $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe $c\\in[a,b]$ tel que $f(c)=k$.\nApplication : localiser une solution de $f(x)=0$.\n\n## 7. Résolution d'inéquations\n\nGraphiquement : $f(x) \\geq 0$ correspond aux abscisses où la courbe est au-dessus de l'axe des x.\nAlgébriquement : on étudie le signe de $f(x)$ via tableau de signes.\n\nExemple : Résoudre $\\frac{x^2-4}{x-1} \\geq 0$.\n1. Factoriser : $\\frac{(x-2)(x+2)}{x-1} \\geq 0$\n2. Tableau de signes avec racines -2, 1, 2\n3. Solution : $[-2,1[ \\cup [2,+\\infty[$\n\n## 8. Application à la situation d'apprentissage\n\nPour $B(x)=-x^2+110x-900$ :\n1. $B'(x)=-2x+110$ s'annule en $x=55$\n2. $B''(x)=-2<0$ donc maximum en $x=55$\n3. $B(55)=-(55)^2+110×55-900=-(3025)+6050-900=2125$\n→ Le bénéfice maximal est 2125 FCFA pour 55 articles.