Statistique à deux variables

Le cours

1. Définitions de base\n\nUne série statistique à deux variables associe à chaque individu deux caractères quantitatifs.\nExemple : année (X) et chiffre d'affaires (Y) pour une entreprise.\n\nLe nuage de points est la représentation graphique des couples (xi, yi) dans un repère orthogonal.\n\n## 2. Point moyen d'un nuage\n\nPour une série de n couples (xi, yi), le point moyen G a pour coordonnées :\n$$x_G = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n x_i$$\n$$y_G = \frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n y_i$$\n\nExemple avec les données de la situation :\nCalcul de $x_G$ : $(1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5$\nCalcul de $y_G$ : $(99+130+92+108+232+150)/6 = 811/6 \\approx 135.17$\nDonc $G(3.5; 135.17)$.\n\n## 3. Ajustement affine et méthode de Mayer\n\nLorsqu'un nuage de points semble aligné, on cherche une droite d'ajustement $y = ax + b$ qui « résume » au mieux la relation entre X et Y.\n\nMéthode de Mayer (méthode des points moyens) :\n1. Ranger les points par x croissants\n2. Séparer en deux groupes de taille égale (ou presque)\n3. Calculer les points moyens G1 et G2 de chaque groupe\n4. La droite (G1G2) est la droite d'ajustement\n\nApplication à nos données :\n\n| Groupe 1 (points 1-3) | Groupe 2 (points 4-6) |\n|------------------------|------------------------|\n| (1,99), (2,130), (3,92) | (4,108), (5,232), (6,150) |\n| $x_{G1} = (1+2+3)/3 = 2$ | $x_{G2} = (4+5+6)/3 = 5$ |\n| $y_{G1} = (99+130+92)/3 = 107$ | $y_{G2} = (108+232+150)/3 = 163.33$ |\n| $G_1(2, 107)$ | $G_2(5, 163.33)$ |\n\n## 4. Calcul de l'équation de la droite\n\nPente $a = \\frac{y_{G2} - y_{G1}}{x_{G2} - x_{G1}} = \\frac{163.33 - 107}{5 - 2} = \\frac{56.33}{3} \\approx 18.78$\n\nÉquation : $y - y_{G1} = a(x - x_{G1})$\n$y - 107 = 18.78(x - 2)$\n$y = 18.78x + 107 - 37.56$\n$y = 18.78x + 69.44$\n\n## 5. Représentation graphique\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"points\",\n \"title\": \"Nuage de points et droite d'ajustement\",\n \"xRange\": [0, 8],\n \"yRange\": [80, 250],\n \"points\": [\n { \"x\": 1, \"y\": 99, \"label\": \"2013\" },\n { \"x\": 2, \"y\": 130, \"label\": \"2014\" },\n { \"x\": 3, \"y\": 92, \"label\": \"2015\" },\n { \"x\": 4, \"y\": 108, \"label\": \"2016\" },\n { \"x\": 5, \"y\": 232, \"label\": \"2017\" },\n { \"x\": 6, \"y\": 150, \"label\": \"2018\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"Rang de l'année\",\n \"yLabel\": \"CA (millions FCFA)\",\n \"trendLine\": {\n \"slope\": 18.78,\n \"intercept\": 69.44,\n \"color\": \"#ef4444\",\n \"label\": \"y = 18.78x + 69.44\"\n }\n}\n\n\n## 6. Utilisation pour l'estimation\n\nPour estimer le chiffre d'affaires en 2020 :\n- Rang correspondant : 2020 - 2012 = 8 (car 2013 a le rang 1)\n- Calcul : $y = 18.78 \\times 8 + 69.44 = 150.24 + 69.44 = 219.68$\n\n→ Estimation : environ 219.7 millions de FCFA en 2020.\n\n## 7. Précautions et interprétation\n\n- Un ajustement linéaire n'est valable que si le nuage est à peu près aligné\n- Les estimations en dehors de l'intervalle des données (extrapolation) sont peu fiables\n- Il faut vérifier la cohérence des résultats avec le contexte réel\n\n## 8. Application à l'économie ivoirienne\n\nExemple : Production de cacao dans la région de Daloa\n\n| Année | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |\n| Tonnes (x1000) | 45 | 52 | 48 | 58 | 65 |\n\nTrouver la droite d'ajustement et estimer la production en 2023.\n\nCalcul rapide :\nRangs : 1,2,3,4,5\nPoint moyen : (3, 53.6)\nDroite approximative : y = 4.5x + 40.1\nPour 2023 (rang 8) : y = 4.5×8 + 40.1 = 76.1 mille tonnes.