Probabilités

Le cours

1. Vocabulaire fondamental\n\n- Univers Ω : ensemble de toutes les issues possibles (éventualités)\n- Événement : partie de Ω\n- Événement élémentaire : événement ne contenant qu'une éventualité\n- Événement certain : Ω\n- Événement impossible : ∅\n- Événements incompatibles : A∩B = ∅\n- Événement contraire de A : $\\overline{A} = Ω \\setminus A$\n\n## 2. Probabilité en situation d'équiprobabilité\n\nSi toutes les éventualités ont la même chance de se réaliser :\n$$p(A) = \\frac{\\text{Nombre d'éventualités favorables à A}}{\\text{Nombre total d'éventualités}} = \\frac{\\text{Card}(A)}{\\text{Card}(Ω)}$$\n\n## 3. Propriétés des probabilités\n\nPour tous événements A et B :\n1. $0 \\leq p(A) \\leq 1$\n2. $p(Ω) = 1$\n3. $p(∅) = 0$\n4. $p(\\overline{A}) = 1 - p(A)$\n5. $p(A \\cup B) = p(A) + p(B) - p(A \\cap B)$\n6. Si A et B sont incompatibles : $p(A \\cup B) = p(A) + p(B)$\n\n## 4. Application à la situation d'apprentissage\n\nAnalyse de l'urne :\n- Boules rouges : R100, R200, R300 (3 boules)\n- Boules ??? (probablement bleues d'après le texte, mais il manque la couleur) : B2, B5 (2 boules)\nTotal : 5 boules.\n\nTirage avec remise de 2 boules :\nNombre total de tirages possibles : $5 \\times 5 = 25$ (car avec remise)\n\nÉvénement P = « le joueur perd » : les deux boules sont de même couleur.\nCalculons $p(P)$ :\n- Probabilité d'avoir 2 rouges : $\\frac{3}{5} \\times \\frac{3}{5} = \\frac{9}{25}$\n- Probabilité d'avoir 2 bleues : $\\frac{2}{5} \\times \\frac{2}{5} = \\frac{4}{25}$\nDonc $p(P) = \\frac{9}{25} + \\frac{4}{25} = \\frac{13}{25} = 0.52$\n\nÉvénement G = « le joueur gagne » : $p(G) = 1 - p(P) = 1 - \\frac{13}{25} = \\frac{12}{25} = 0.48$\n\n## 5. Gain espéré du joueur\n\nQuand le joueur gagne, il reçoit le produit des numéros. Calculons l'espérance de gain :\n\nCas gagnants possibles (une boule rouge, une boule bleue) :\nLes produits possibles :\n- R100 avec B2 → 200\n- R100 avec B5 → 500\n- R200 avec B2 → 400\n- R200 avec B5 → 1000\n- R300 avec B2 → 600\n- R300 avec B5 → 1500\n\nChaque combinaison a la même probabilité : $\\frac{1}{5} \\times \\frac{1}{5} = \\frac{1}{25}$ pour un couple spécifique.\nIl y a 2 ordres possibles (R puis B ou B puis R) pour chaque couple, donc probabilité $\\frac{2}{25}$ par couple de numéros.\n\nGain moyen conditionnel (sachant qu'on a gagné) :\nMoyenne des produits : $(200+500+400+1000+600+1500)/6 = 4200/6 = 700$ FCFA.\n\nGain espéré total :\n$E = p(G) \\times \\text{gain moyen} = \\frac{12}{25} \\times 700 = 0.48 \\times 700 = 336$ FCFA.\n\n## 6. Mise minimale pour que le jeu soit avantageux aux organisateurs\n\nPour les organisateurs, le jeu est avantageux si l'espérance de gain du joueur est inférieure à sa mise M.\nDonc ils veulent : $M > E = 336$ FCFA.\n\nLa mise minimale pour être avantageux : M > 336 FCFA, donc au moins 337 FCFA.\n\n## 7. Représentation par diagramme\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Tirage de 2 boules] --> B{Même couleur ?}\n B -->|Oui, p=13/25| C[Perdu : gain=0]\n B -->|Non, p=12/25| D[Gagné : gain=produit]\n D --> E[Produit moyen=700]\n C --> F[Espérance totale=336]\n D --> F\n\n\n## 8. Généralisation et exercice type\n\nProblème : Dans une école de Yamoussoukro, un jeu consiste à tirer 2 jetons d'une urne contenant 4 jetons « Gagne » et 3 jetons « Perd ». Le joueur mise 200 FCFA et gagne 500 FCFA s'il tire au moins un jeton « Gagne ». Le jeu est-il équitable ?\n\nSolution :\n$p(\\text{au moins 1 gagne}) = 1 - p(\\text{2 perd}) = 1 - (3/7 × 2/6) = 1 - 6/42 = 1 - 1/7 = 6/7$\nGain espéré : $(6/7)×500 = 428.57$ FCFA > mise 200 FCFA → jeu favorable au joueur.