Fonction logarithme népérien

Le cours

## 1. Définition et notation\n\nLa fonction logarithme népérien, notée $\\ln$, est définie sur $]0,+\\infty[$ comme la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Pour tout $x>0$, $y=\\ln x \\iff e^y = x$.\n\nPropriétés fondamentales :\n- $\\ln 1 = 0$\n- $\\ln e = 1$ où $e \\approx 2.71828$\n- $\\ln(e^x) = x$ pour tout $x\\in\\mathbb{R}$\n- $e^{\\ln x} = x$ pour tout $x>0$\n\n## 2. Propriétés algébriques (pour $a>0$, $b>0$, $n\\in\\mathbb{Z}$)\n\n1. $\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$\n2. $\\ln\\left(\\frac{a}{b}\\right) = \\ln a - \\ln b$\n3. $\\ln(a^n) = n \\ln a$\n4. $\\ln(\\sqrt[n]{a}) = \\frac{\\ln a}{n}$\n\nCes propriétés permettent de transformer des produits en sommes, facilitant les calculs.\n\n## 3. Signe et variations\n\n- $\\ln x < 0$ pour $0<x<1$\n- $\\ln x = 0$ pour $x=1$\n- $\\ln x > 0$ pour $x>1$\n\nLa fonction $\\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\\infty[$ car sa dérivée $\\ln' x = \\frac{1}{x} > 0$.\n\nmathgraph\\n{\ \"type\": \"function\",\n \"title\": \"Fonction logarithme népérien\",\n \"xRange\": [0.1, 5],\n \"yRange\": [-3, 2],\n \"functions\": [\n { \"expression\": \"ln(x)\", \"color\": \"#10b981\", \"name\": \"ln(x)\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"x > 0\",\n \"yLabel\": \"ln(x)\"\n}\n\n\n## 4. Limites importantes\n\n$$\\lim_{x\\to 0^+} \\ln x = -\\infty$$\n$$\\lim_{x\\to +\\infty} \\ln x = +\\infty$$\n$$\\lim_{x\\to +\\infty} \\frac{\\ln x}{x} = 0$$ (le logarithme croît moins vite que toute puissance de $x$)\n$$\\lim_{x\\to 0^+} x \\ln x = 0$$\n\n## 5. Dérivées des fonctions usuelles avec ln\n\n| Fonction | Dérivée | Conditions |\n|----------|---------|------------|\n| $\\ln x$ | $\\frac{1}{x}$ | $x>0$ |\n| $\\ln(ax+b)$ | $\\frac{a}{ax+b}$ | $ax+b>0$ |\n| $\\ln(ax^2+bx+c)$ | $\\frac{2ax+b}{ax^2+bx+c}$ | $ax^2+bx+c>0$ |\n| $ax+b+\\ln x$ | $a+\\frac{1}{x}$ | $x>0$ |\n| $ax+b-\\ln x$ | $a-\\frac{1}{x}$ | $x>0$ |\n\n## 6. Résolution d'équations et d'inéquations\n\nÉquation : $\\ln A = \\ln B \\iff A = B > 0$\nInéquation : $\\ln A < \\ln B \\iff 0 < A < B$ (car ln est croissante)\n\nExemple : Résoudre $\\ln(2x-5) = \\ln(x+1)$\nConditions : $2x-5>0$ et $x+1>0$ soit $x>2.5$\nÉquation : $2x-5 = x+1 \\Rightarrow x=6$ (vérifie $6>2.5$).\n\nExemple : Résoudre $\\ln(3x-2) \\leq 1$\nCondition : $3x-2>0 \\Rightarrow x>\\frac{2}{3}$\n$\\ln(3x-2) \\leq \\ln e$ car $1=\\ln e$\nDonc $0 < 3x-2 \\leq e$\n$2 < 3x \\leq e+2$\n$\\frac{2}{3} < x \\leq \\frac{e+2}{3}$ (avec $\\frac{e+2}{3}\\approx 1.5728$)\n\n## 7. Application à la situation d'apprentissage\n\nOn cherche $n$ tel que $1 - (0.325)^n > 0.98$\n$\\iff -(0.325)^n > -0.02$\n$\\iff (0.325)^n < 0.02$\nAppliquons $\\ln$ (fonction croissante) :\n$\\ln[(0.325)^n] < \\ln(0.02)$\n$n \\ln(0.325) < \\ln(0.02)$\nAttention : $\\ln(0.325) \\approx -1.124$ (négatif), donc en divisant, l'inégalité change de sens :\n$n > \\frac{\\ln(0.02)}{\\ln(0.325)} \\approx \\frac{-3.912}{-1.124} \\approx 3.48$\nDonc $n \\geq 4$. Il faut examiner au moins 4 élèves.