Fonction exponentielle népérienne

Le cours

## 1. Définition et notation\n\nLa fonction exponentielle népérienne, notée $\\exp$ ou $x \\mapsto e^x$, est définie sur $\\mathbb{R}$ comme la fonction réciproque de $\\ln$. Pour tout $x\\in\\mathbb{R}$, $y=e^x \\iff \\ln y = x$.\n\nPropriétés immédiates :\n- $e^0 = 1$\n- $e^1 = e \\approx 2.71828$\n- $e^{\\ln x} = x$ pour $x>0$\n- $\\ln(e^x) = x$ pour tout $x$\n\n## 2. Propriétés algébriques (pour $a,b\\in\\mathbb{R}$, $n\\in\\mathbb{Z}$)\n\n1. $e^{a+b} = e^a \\cdot e^b$\n2. $e^{a-b} = \\frac{e^a}{e^b}$\n3. $(e^a)^n = e^{na}$\n4. $e^{-a} = \\frac{1}{e^a}$\n\nCes propriétés permettent de simplifier des expressions complexes.\n\n## 3. Signe, variations et limites\n\nPour tout $x$, $e^x > 0$.\nLa fonction $\\exp$ est strictement croissante sur $\\mathbb{R}$ car $\\exp'(x) = e^x > 0$.\n\nLimites fondamentales :\n$$\\lim_{x\\to -\\infty} e^x = 0^+$$\n$$\\lim_{x\\to +\\infty} e^x = +\\infty$$\n$$\\lim_{x\\to +\\infty} \\frac{e^x}{x} = +\\infty$$ (l'exponentielle croît plus vite que toute puissance de $x$)\n$$\\lim_{x\\to -\\infty} x e^x = 0$$\n\nmathgraph\\n{\ \"type\": \"function\",\n \"title\": \"Fonction exponentielle népérienne\",\n \"xRange\": [-3, 3],\n \"yRange\": [-1, 10],\n \"functions\": [\n { \"expression\": \"exp(x)\", \"color\": \"#8b5cf6\", \"name\": \"exp(x)\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"x\",\n \"yLabel\": \"exp(x)\"\n}\n\n\n## 4. Dérivées des fonctions usuelles avec exp\n\n| Fonction | Dérivée | Conditions |\n|----------|---------|------------|\n| $e^x$ | $e^x$ | $x\\in\\mathbb{R}$ |\n| $e^{ax+b}$ | $a e^{ax+b}$ | $x\\in\\mathbb{R}$ |\n| $(ax+b)e^x$ | $(ax+b+a)e^x$ | $x\\in\\mathbb{R}$ |\n| $\\frac{e^x}{ax+b}$ | $\\frac{e^x(ax+b - a)}{(ax+b)^2}$ | $ax+b \\neq 0$ |\n| $ax+b+e^x$ | $a+e^x$ | $x\\in\\mathbb{R}$ |\n| $ax+b-e^x$ | $a-e^x$ | $x\\in\\mathbb{R}$ |\n\n## 5. Étude complète d'une fonction type : $f(x)=(2x-1)e^x$\n\n1. Domaine : $\\mathbb{R}$\n2. Limites :\n - $x\\to -\\infty$ : $f(x) \\sim (2x-1)e^x \\to 0$ (car $e^x \\to 0$ plus vite que $2x-1 \\to -\\infty$)\n - $x\\to +\\infty$ : $f(x) \\to +\\infty$\n3. Dérivée : $f'(x)=2e^x+(2x-1)e^x=(2x+1)e^x$\n4. Signe de $f'$ : $e^x>0$ donc $f'(x)$ du signe de $2x+1$\n $f'(x)=0$ pour $x=-\\frac{1}{2}$\n $f'(x)<0$ pour $x<-\\frac{1}{2}$, $f'(x)>0$ pour $x>-\\frac{1}{2}$\n5. Variations :\n - Décroissante sur $]-\\infty,-\\frac{1}{2}]$\n - Croissante sur $[-\\frac{1}{2},+\\infty[$\n - Minimum en $x=-\\frac{1}{2}$ : $f(-\\frac{1}{2})=(-2)e^{-1/2}=-\\frac{2}{\\sqrt{e}}$\n6. Courbe : passe par $(0,-1)$, $(-\\frac{1}{2}, -\\frac{2}{\\sqrt{e}})$, asymptote horizontale $y=0$ à gauche\n\n## 6. Résolution d'équations et inéquations\n\nÉquation : $e^{A} = e^{B} \\iff A = B$\nInéquation : $e^{A} < e^{B} \\iff A < B$ (car $\exp$ est croissante)\n\nExemple : $e^{2x-3} = e^{5-x}$\n$\\iff 2x-3 = 5-x$\n$\\iff 3x = 8$\n$\\iff x = \\frac{8}{3}$\n\n## 7. Modélisation : décroissance exponentielle\n\nUn phénomène de décroissance exponentielle suit un modèle $N(t)=N_0 e^{-\\lambda t}$ où $\\lambda>0$.\nDemi-vie $t_{1/2}$ : temps pour que $N(t)=N_0/2$\n$N_0 e^{-\\lambda t_{1/2}} = \\frac{N_0}{2}$\n$e^{-\\lambda t_{1/2}} = \\frac{1}{2}$\n$-\\lambda t_{1/2} = \\ln(\\frac{1}{2}) = -\\ln 2$\n$t_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda}$\n\n## 8. Application à la situation d'apprentissage\n\nPour $M(t)=50 e^{-0.75t}$ :\n1. Masse initiale : $M(0)=50$ mg\n2. Demi-vie : $t_{1/2}=\\frac{\\ln 2}{0.75}\\approx\\frac{0.693}{0.75}=0.924$ heure (≈55 min)\n3. Limite : $\\lim_{t\\to+\\infty} M(t)=0$ (le médicament est éliminé)\n4. Courbe : décroissante, convexe, passe par $(0,50)$, $(0.924,25)$, etc.