Systèmes linéaires dans ℝ x ℝ

Le cours

1. Introduction aux systèmes linéaires\nUn système linéaire dans ℝ x ℝ est un ensemble de deux équations du type :\n$$\\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\\\ a_2x + b_2y = c_2 \\end{cases}$$\noù $a_1$, $b_1$, $c_1$, $a_2$, $b_2$, $c_2$ sont des réels.\n\n## 2. Méthodes de résolution\n\nMéthode de substitution : Exprimer une variable en fonction de l'autre dans une équation, puis remplacer dans la seconde.\n\nMéthode de combinaison (ou d'élimination) : Combiner les équations pour éliminer une variable.\n\nExemple ivoirien : Pour déterminer le nombre de taxis (x) et de motos-taxis (y) assurant le transport à Yamoussoukro sachant que :\n$$\\begin{cases} 4x + 2y = 200 \\\\ 3x + y = 120 \\end{cases}$$\n\n## 3. Systèmes avec fonctions logarithmiques et exponentielles\nCertains systèmes se ramènent à des systèmes linéaires par changement de variable.\n\nCas 1 : Avec logarithme népérien\nSystème du type : $$\\begin{cases} a\\ln x + b\\ln y = c \\\\ a'\\ln x + b'\\ln y = c' \\end{cases}$$\nOn pose $X = \\ln x$ et $Y = \\ln y$.\n\nCas 2 : Avec exponentielle népérienne\nSystème du type : $$\\begin{cases} ae^x + be^y = c \\\\ a'e^x + b'e^y = c' \\end{cases}$$\nOn pose $X = e^x$ et $Y = e^y$.\n\n## 4. Représentation graphique des solutions d'inéquations\n\nPour un système d'inéquations du premier degré, l'ensemble des solutions est l'intersection des demi-plans correspondants.\n\nExemple :\n$$\\begin{cases} x + y \\leq 100 \\\\ 3x + 5y \\leq 360 \\\\ x \\geq 0, y \\geq 0 \\end{cases}$$\n\n## 5. Application à la programmation linéaire\nLa situation du pâtissier se modélise ainsi :\nSoit $x$ = nombre de gâteaux cylindriques, $y$ = nombre de gâteaux tronc de cône.\n\n| Contrainte | Inéquation |\n|------------|------------|\n| Temps de cuisson | $3x + 5y \\leq 360$ (minutes) |\n| Garniture | $50x + 150y \\leq 9000$ (grammes) |\n| Production maximale | $x + y \\leq 100$ |\n| Positivité | $x \\geq 0, y \\geq 0$ |\n\nFonction objectif (bénéfice) : $B(x,y) = 400x + 450y$\n\n## 6. Résolution graphique d'un système d'inéquations\n\n1. Tracer chaque droite frontière\n2. Déterminer le demi-plan solution de chaque inéquation\n3. Identifier la zone d'intersection (polygone de contraintes)\n4. Évaluer la fonction objectif aux sommets du polygone\n\n## 7. Méthode de résolution algébrique par combinaison\n\nÉtapes :\n1. Aligner les variables\n2. Multiplier les équations pour égaliser les coefficients d'une variable\n3. Soustraire ou additionner pour éliminer cette variable\n4. Résoudre l'équation à une inconnue\n5. Remplacer pour trouver la seconde inconnue\n\n## 8. Vérification des solutions\n\nToujours vérifier que les solutions satisfont toutes les équations du système. Dans les problèmes concrets, vérifier aussi la cohérence avec le contexte (valeurs positives, entières si nécessaire).