Étude de fonctions polynômes et de fonctions rationnelles

Le cours

1. Rappel sur les fonctions polynômes\nUne fonction polynôme de degré n est de la forme :\n$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$$\navec $a_n \\neq 0$.\n\nExemple ivoirien : La production de cacao dans la région de Daloa peut être modélisée par $P(t) = -2t^2 + 20t + 100$ (en tonnes), où t est le temps en années depuis 2010.\n\n## 2. Fonctions rationnelles\nUne fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes :\n$$f(x) = \\frac{P(x)}{Q(x)}, Q(x) \\neq 0$$\n\nExemple : $f(x) = \\frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$\n\n## 3. Limites des fonctions polynômes\n\n| Type de limite | Résultat |\n|----------------|----------|\n| $\\lim_{x \\to \\pm \\infty} a_nx^n$ (n≥1) | Dépend du signe de $a_n$ et de la parité de n |\n| $\\lim_{x \\to a} f(x)$ | $f(a)$ si f est définie en a |\n\nPropriété : En ±∞, une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.\n\n## 4. Limites des fonctions rationnelles\n\nPour $f(x) = \\frac{P(x)}{Q(x)}$ en ±∞ :\n- Si deg(P) < deg(Q) : $\\lim f(x) = 0$\n- Si deg(P) = deg(Q) : $\\lim f(x) = \\frac{a_n}{b_n}$ (rapport des coeff dominants)\n- Si deg(P) > deg(Q) : $\\lim f(x) = \\pm \\infty$\n\nCas particulier : $\\lim_{x \\to a^+} \\frac{1}{x-a} = +\\infty$ et $\\lim_{x \\to a^-} \\frac{1}{x-a} = -\\infty$\n\n## 5. Asymptotes\n\nAsymptote verticale : Droite x = a si $\\lim_{x \\to a} f(x) = \\pm \\infty$\n\nAsymptote horizontale : Droite y = b si $\\lim_{x \\to \\pm \\infty} f(x) = b$\n\nAsymptote oblique : Droite y = ax + b si $\\lim_{x \\to \\pm \\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$\n\nPour une fonction rationnelle où deg(P) = deg(Q) + 1, on a une asymptote oblique obtenue par division euclidienne.\n\n## 6. Dérivées et variations\n\nDérivée d'un polynôme : Si $f(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0$, alors $f'(x) = na_nx^{n-1} + ... + a_1$\n\nDérivée d'une fonction rationnelle : On utilise $(\\frac{u}{v})' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$\n\nTableau de variations : On étudie le signe de f'(x).\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonction rationnelle f(x) = (x² - 1)/(x - 2) avec asymptotes",\n "xRange": [-5, 8],\n "yRange": [-20, 30],\n "functions": [\n { "expression": "(x^2 - 1)/(x - 2)", "color": "#3b82f6", "name": "f(x)" },\n { "expression": "x + 2", "color": "#ef4444", "name": "Asymptote oblique", "lineStyle": "dashed" }\n ],\n "verticalLines": [\n { "x": 2, "color": "#10b981", "name": "x = 2", "lineStyle": "dashed" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y"\n}\n\n\n## 7. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)\nSi f est continue sur [a,b] et k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe c∈[a,b] tel que f(c)=k.\n\nApplication : Résolution d'équations $f(x)=0$ par dichotomie ou balayage.\n\n## 8. Résolution d'inéquations\n\nMéthode algébrique :\n1. Mettre l'inéquation sous forme $\\frac{P(x)}{Q(x)} \\geq 0$ (ou autre signe)\n2. Étudier le signe du numérateur et du dénominateur\n3. Faire un tableau de signes\n4. Conclure\n\nExemple : Résoudre $\\frac{x^2 - 4}{x - 1} \\geq 0$ sur \mathbb{R}\{1}.\n\n## 9. Retour à la situation du COGES\n\nPour $B(x) = -x^2 + 110x - 900$ :\n- Dérivée : $B'(x) = -2x + 110$\n- $B'(x) = 0 ⇔ x = 55$\n- Tableau : B croissante sur [0,55], décroissante sur [55,+∞[\n- Maximum : B(55) = -(55)² + 110×55 - 900 = 2025\n\nConclusion : Produire 55 articles par jour maximise le bénéfice à 2 025 000 FCFA.