Suites numeriques

Le cours

1. Definition d'une suite numerique\nUne suite numerique est une fonction definie sur $\\mathbb{N}$ ou une partie de $\\mathbb{N}$, notee $(u_n)$ ou $n$ est l'indice.\n\nNotation : $u_n$ est le terme de rang $n$, $u_0$ ou $u_1$ est le premier terme.\n\n## 2. Suite arithmetique\n\nDefinition : $(u_n)$ est arithmetique s'il existe un reel $r$ (la raison) tel que :\n$$u_{n+1} = u_n + r \\quad \\text{pour tout } n$$\n\nExemple ivoirien : Un taxi d'Abidjan parcourt chaque jour 50 km de plus que la veille. Si le premier jour il fait 100 km, on a $u_1=100$, $r=50$, donc $u_n=100+50(n-1)$.\n\n## 3. Terme general d'une suite arithmetique\n\nSi $(u_n)$ est arithmetique de raison $r$ :\n$$u_n = u_p + (n-p)r$$\nEn particulier avec le premier terme $u_0$ : $u_n = u_0 + nr$\nAvec le premier terme $u_1$ : $u_n = u_1 + (n-1)r$\n\n## 4. Sens de variation d'une suite arithmetique\n\n- Si $r > 0$ : $(u_n)$ est strictement croissante\n- Si $r < 0$ : $(u_n)$ est strictement decroissante\n- Si $r = 0$ : $(u_n)$ est constante\n\nPreuve : $u_{n+1} - u_n = r$ donc le signe de cette difference donne la variation.\n\n## 5. Somme des n premiers termes d'une suite arithmetique\n\n$$S_n = u_0 + u_1 + ... + u_{n-1} = n \\times \\frac{u_0 + u_{n-1}}{2}$$\n\nOu si le premier terme est $u_1$ :\n$$S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n = n \\times \\frac{u_1 + u_n}{2}$$\n\nFormule alternative : $S_n = n \\times u_0 + \\frac{n(n-1)}{2}r$\n\n## 6. Suite geometrique\n\nDefinition : $(u_n)$ est geometrique s'il existe un reel $q$ (la raison, $q \\neq 0$) tel que :\n$$u_{n+1} = u_n \\times q \\quad \\text{pour tout } n$$\n\nExemple : Une population de moustiques a Korhogo triple chaque semaine. Si initialement $u_0=100$, alors $q=3$, $u_n=100 \\times 3^n$.\n\n## 7. Terme general d'une suite geometrique\n\nSi $(u_n)$ est geometrique de raison $q$ :\n$$u_n = u_p \\times q^{n-p}$$\nEn particulier avec le premier terme $u_0$ : $u_n = u_0 \\times q^n$\nAvec le premier terme $u_1$ : $u_n = u_1 \\times q^{n-1}$\n\n## 8. Sens de variation d'une suite geometrique\n\nDepend de $u_0$ et $q$ :\n\n| Condition | Variation |\n|-----------|-----------|\n| $u_0 > 0$ et $q > 1$ | Strictement croissante |\n| $u_0 > 0$ et $0 < q < 1$ | Strictement decroissante |\n| $u_0 > 0$ et $q = 1$ | Constante |\n| $u_0 < 0$ et $q > 1$ | Strictement decroissante |\n| $u_0 < 0$ et $0 < q < 1$ | Strictement croissante |\n\n## 9. Somme des n premiers termes d'une suite geometrique\n\nPour $q \\neq 1$ :\n$$S_n = u_0 + u_1 + ... + u_{n-1} = u_0 \\times \\frac{1 - q^n}{1 - q}$$\n\nOu si le premier terme est $u_1$ :\n$$S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n = u_1 \\times \\frac{1 - q^n}{1 - q}$$\n\nPour $q = 1$ : $S_n = n \\times u_0$ (ou $n \\times u_1$).\n\n## 10. Application a la situation bancaire\n\nDonnees : Capital initial $C_0 = 300\\,000$ FCFA, besoin $C_{\\text{objectif}} = 400\\,000$ FCFA, placement du 1er janvier a debut aout (environ 7 mois).\n\nOption 1 (interets simples) : Suite arithmetique\n- Raison $r = 2\\,500$ FCFA/mois\n- $u_n = 300\\,000 + 2\\,500n$ ou $n$ = nombre de mois\n- Pour $u_n \\geq 400\\,000$ : $300\\,000 + 2\\,500n \\geq 400\\,000$\n $2\\,500n \\geq 100\\,000$\n $n \\geq 40$ mois (3 ans et 4 mois) -> Trop long!\n\nOption 2 (interets composes) : Suite geometrique\n- Raison $q = 1 + 0,03 = 1,03$\n- $v_n = 300\\,000 \\times (1,03)^n$\n- Pour $v_n \\geq 400\\,000$ : $300\\,000 \\times (1,03)^n \\geq 400\\,000$\n $(1,03)^n \\geq \\frac{400\\,000}{300\\,000} = \\frac{4}{3} \\approx 1,3333$\n En utilisant $\\ln$ : $n \\ln(1,03) \\geq \\ln(1,3333)$\n $n \\geq \\frac{\\ln(1,3333)}{\\ln(1,03)} \\approx \\frac{0,2877}{0,0296} \\approx 9,72$ mois\n\nConclusion : Avec l'option 2, il faut environ 10 mois, donc debut novembre 2018. Ni l'option 1 (40 mois) ni l'option 2 (10 mois) n'atteignent l'objectif avant aout 2018. Il faudrait chercher d'autres solutions!