Statistique a deux variables

Le cours

1. Serie statistique a deux variables\n\nOn etudie simultanement deux caracteres quantitatifs sur une meme population.\n\nExemple : Etudier le lien entre :\n- Le rang de l'annee (X) et le chiffre d'affaires (Y) d'une entreprise\n- L'age (X) et la taille (Y) des eleves d'un lycee d'Abidjan\n- La temperature (X) et la consommation electrique (Y) a Yamoussoukro\n\nNotation : On a n couples $(x_i, y_i)$ pour $i = 1, 2, ..., n$.\n\n## 2. Representation graphique : nuage de points\n\nDans un repere orthogonal, on place les points $M_i(x_i, y_i)$. L'ensemble forme le nuage de points.\n\nExemple avec les donnees de l'entreprise :\n\n| Annee | Rang x_i | CA y_i (millions FCFA) | Point M_i |\n|-------|----------|------------------------|-----------|\n| 2013 | 1 | 99 | M1(1, 99) |\n| 2014 | 2 | 130 | M2(2, 130) |\n| 2015 | 3 | 92 | M3(3, 92) |\n| 2016 | 4 | 108 | M4(4, 108) |\n| 2017 | 5 | 232 | M5(5, 232) |\n| 2018 | 6 | 150 | M6(6, 150) |\n\n## 3. Point moyen\n\nLe point moyen G du nuage a pour coordonnees :\n$$G(\\overline{x}, \\overline{y}) \\quad \\text{ou} \\quad \\overline{x} = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n x_i \\quad \\text{et} \\quad \\overline{y} = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n y_i$$\n\nCalcul pour l'entreprise :\n$\\overline{x} = \\frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \\frac{21}{6} = 3.5$\n$\\overline{y} = \\frac{99+130+92+108+232+150}{6} = \\frac{811}{6} ≈ 135.17$\nDonc $G(3.5; 135.17)$.\n\n## 4. Covariance\n\nLa covariance mesure la liaison lineaire entre X et Y :\n$$\\text{Cov}(X,Y) = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n (x_i - \\overline{x})(y_i - \\overline{y})$$\n\nFormule pratique : $\\text{Cov}(X,Y) = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n x_i y_i - \\overline{x}\\overline{y}$\n\nInterpretation :\n- Si Cov > 0 : tendance a la croissance conjointe\n- Si Cov < 0 : tendance inverse (quand X augmente, Y diminue)\n- Si Cov ≈ 0 : pas de liaison lineaire apparente\n\n## 5. Coefficient de correlation lineaire\n\n$$r = \\frac{\\text{Cov}(X,Y)}{\\sigma_X \\sigma_Y}$$\nou $\\sigma_X = \\sqrt{\\frac{1}{n}\\sum (x_i-\\overline{x})^2}$ et $\\sigma_Y = \\sqrt{\\frac{1}{n}\\sum (y_i-\\overline{y})^2}$\n\nProprietes : $-1 ≤ r ≤ 1$\n\n| Valeur de r | Interpretation |\n|-------------|----------------|\n| $r ≈ 1$ | Forte correlation positive (nuage allonge selon une droite croissante) |\n| $r ≈ -1$ | Forte correlation negative (nuage allonge selon une droite decroissante) |\n| $r ≈ 0$ | Faible correlation lineaire (nuage disperse) |\n\n## 6. Ajustement affine : droite de regression\n\nOn cherche une droite $y = ax + b$ qui « approche » au mieux le nuage.\n\nMethode de Mayer :\n1. Partager le nuage en deux groupes de meme effectif\n2. Calculer les points moyens G1 et G2 de chaque groupe\n3. La droite passant par G1 et G2 est la droite de Mayer\n\nMethode des moindres carres :\nC'est la droite qui minimise la somme des carres des distances verticales :\n$$\\sum_{i=1}^n (y_i - (ax_i + b))^2$$\n\nLes coefficients sont :\n$$a = \\frac{\\text{Cov}(X,Y)}{\\sigma_X^2} \\quad \\text{et} \\quad b = \\overline{y} - a\\overline{x}$$\n\nCette droite passe toujours par le point moyen G.\n\n## 7. Calculs pour l'entreprise\n\nTableau de calcul :\n\n| x_i | y_i | x_i² | y_i² | x_i y_i |\n|-----|-----|------|------|---------|\n| 1 | 99 | 1 | 9,801 | 99 |\n| 2 | 130 | 4 | 16,900 | 260 |\n| 3 | 92 | 9 | 8,464 | 276 |\n| 4 | 108 | 16 | 11,664 | 432 |\n| 5 | 232 | 25 | 53,824 | 1,160 |\n| 6 | 150 | 36 | 22,500 | 900 |\n| Σ=21 | Σ=811 | Σ=91 | Σ=123,153 | Σ=3,127 |\n\nCalculs :\n1. $\\overline{x} = 3.5$, $\\overline{y} = 135.1667$\n2. $\\text{Cov}(X,Y) = \\frac{3127}{6} - 3.5 × 135.1667 = 521.1667 - 473.0833 = 48.0834$\n3. $\\sigma_X^2 = \\frac{91}{6} - 3.5^2 = 15.1667 - 12.25 = 2.9167$\n4. $a = \\frac{48.0834}{2.9167} ≈ 16.49$\n5. $b = 135.1667 - 16.49 × 3.5 ≈ 135.1667 - 57.715 ≈ 77.45$\n\nDroite des moindres carres : $y ≈ 16.49x + 77.45$\n\n## 8. Estimation\n\nPour estimer le CA en 2020 :\n- 2020 correspond a x = 8 (car 2013 → x=1, donc 2020 → x=8)\n- $y ≈ 16.49 × 8 + 77.45 = 131.92 + 77.45 = 209.37$\n\nEstimation : environ 209 millions de FCFA en 2020.\n\n## 9. Validite de l'estimation\n\nPrecautions :\n- L'estimation n'est fiable que si la correlation est forte (|r| proche de 1)\n- Il est dangereux d'extrapoler trop loin hors de la periode observee\n- Il faut verifier que la tendance lineaire se maintient\n\nCalcul de r :\n$\\sigma_Y^2 = \\frac{123153}{6} - 135.1667^2 = 20525.5 - 18270.0 = 2255.5$\n$\\sigma_Y ≈ \\sqrt{2255.5} ≈ 47.49$\n$\\sigma_X ≈ \\sqrt{2.9167} ≈ 1.708$\n$r = \\frac{48.08}{1.708 × 47.49} ≈ \\frac{48.08}{81.12} ≈ 0.593$\n\nCorrelation moderee (0.593), donc l'estimation est a prendre avec prudence.\n\n## 10. Applications en Cote d'Ivoire\n\n- Prevision des recoltes de cacao en fonction des pluies\n- Estimation de la consommation electrique selon la temperature\n- Prevision des ventes d'une entreprise en fonction du temps\n- Etude du lien entre budget education et reussite scolaire