Probabilites

Le cours

1. Vocabulaire des probabilites\n\nExperience aleatoire : Experience dont on ne peut prevoir avec certitude le resultat (ex: lancer un de, tirer une boule).\n\nUnivers Ω : Ensemble de tous les resultats possibles (issues).\n\nEvenement : Sous-ensemble de Ω.\n- Elementaire : Un seul resultat\n- Certain : Ω lui-meme (probabilite = 1)\n- Impossible : ∅ (probabilite = 0)\n- Contraire de A : note Ā ou Aᶜ, se realise quand A ne se realise pas\n\nExemple : Lancer un de a 6 faces. Ω = {1,2,3,4,5,6}. A = « obtenir un nombre pair » = {2,4,6}.\n\n## 2. Equiprobabilite\n\nOn dit qu'il y a equiprobabilite quand tous les evenements elementaires ont la meme probabilite.\n\nFormule : Si Ω a n issues equiprobables et A a k issues favorables, alors :\n$$P(A) = \\frac{\\text{nombre d'issues favorables}}{\\text{nombre total d'issues}} = \\frac{k}{n}$$\n\n## 3. Proprietes fondamentales\n\n1. $0 ≤ P(A) ≤ 1$\n2. $P(\\Omega) = 1$\n3. $P(\\emptyset) = 0$\n4. $P(\\bar{A}) = 1 - P(A)$\n5. $P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)$\n\nCas particulier : Si A et B sont incompatibles (A∩B=∅), alors $P(A ∪ B) = P(A) + P(B)$.\n\n## 4. Situation de la kermesse - analyse\n\nUnivers : Tirages avec remise de 2 boules parmi 5.\nAvec remise, donc chaque tirage est independant.\nNombre total de tirages : $5 × 5 = 25$ (equiprobables).\n\nBoules : R100, R200, R300, B2, B5.\n\nEvenements :\n- M : « les deux boules sont de meme couleur » (le joueur perd)\n- G : « les deux boules sont de couleurs differentes » (le joueur gagne)\n\n## 5. Calcul des probabilites\n\nProbabilite de perdre (M) :\nDeux cas : deux rouges OU deux bleues.\n- Deux rouges : 3×3 = 9 tirages possibles\n- Deux bleues : 2×2 = 4 tirages possibles\nTotal issues favorables a M : 9+4 = 13\n$P(M) = \\frac{13}{25} = 0.52$\n\nProbabilite de gagner (G) :\n$P(G) = 1 - P(M) = 1 - 0.52 = 0.48$\n\n## 6. Variable aleatoire\n\nUne variable aleatoire X associe un nombre reel a chaque issue.\n\nDans notre jeu :\n- Si le joueur perd (M) : gain = 0 (il perd sa mise)\n- Si le joueur gagne (G) : gain = produit des numeros\n\nDefinissons X = gain du joueur (en FCFA).\n\n## 7. Loi de probabilite de X\n\nC'est la liste des valeurs possibles de X avec leurs probabilites.\n\nValeurs possibles pour X :\nQuand le joueur gagne, les produits possibles sont :\n- Rouge × Bleue : 100×2=200, 100×5=500, 200×2=400, 200×5=1000, 300×2=600, 300×5=1500\n- Bleue × Rouge : memes produits (car multiplication commutative)\nMais attention : R100 puis B2 est different de B2 puis R100 (tirages avec remise)!\n\nDenombrement precis :\nIl y a 2×3 = 6 couples (Rouge, Bleue) et 3×2 = 6 couples (Bleue, Rouge), donc 12 tirages donnant des couleurs differentes.\n\nChaque produit apparait deux fois (ordre inverse), sauf si les numeros sont identiques (ce qui n'arrive pas ici).\n\nCalcul detaille :\n\n| Produit | Tirages correspondants | Nombre |\n|---------|------------------------|--------|\n| 200 | (R100,B2), (B2,R100) | 2 |\n| 400 | (R200,B2), (B2,R200) | 2 |\n| 600 | (R300,B2), (B2,R300) | 2 |\n| 500 | (R100,B5), (B5,R100) | 2 |\n| 1000 | (R200,B5), (B5,R200) | 2 |\n| 1500 | (R300,B5), (B5,R300) | 2 |\n| Total | | 12 |\n\nLoi de X :\n- X = 0 avec probabilite $P(M) = \\frac{13}{25}$\n- Chaque valeur de produit a probabilite $\\frac{2}{25}$ (car 2 tirages sur 25)\n\nTableau :\n\n| x_i | 0 | 200 | 400 | 600 | 500 | 1000 | 1500 |\n|------|-----|-----|-----|-----|-----|------|------|\n| p_i | $\\frac{13}{25}$ | $\\frac{2}{25}$ | $\\frac{2}{25}$ | $\\frac{2}{25}$ | $\\frac{2}{25}$ | $\\frac{2}{25}$ | $\\frac{2}{25}$ |\n\nVerification : $\\frac{13}{25} + 6 × \\frac{2}{25} = \\frac{13+12}{25} = \\frac{25}{25} = 1$ ✓\n\n## 8. Esperance mathematique\n\nL'esperance E(X) est la moyenne des valeurs ponderees par leurs probabilites :\n$$E(X) = \\sum_{i} x_i × p_i$$\n\nCalcul :\n$E(X) = 0 × \\frac{13}{25} + 200 × \\frac{2}{25} + 400 × \\frac{2}{25} + 600 × \\frac{2}{25} + 500 × \\frac{2}{25} + 1000 × \\frac{2}{25} + 1500 × \\frac{2}{25}$\n$= \\frac{2}{25}(200+400+600+500+1000+1500)$\n$= \\frac{2}{25} × 4200 = \\frac{8400}{25} = 336$\n\nInterpretation : En moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur gagne 336 FCFA par partie.\n\n## 9. Jeu equitable et mise minimale\n\nJeu equitable : Quand l'esperance de gain net est nulle.\n\nIci, si le joueur mise m FCFA :\n- Gain net = X - m\n- Esperance de gain net = E(X) - m\n\nPour que le jeu soit avantageux pour les organisateurs (les eleves), il faut que E(gain net) < 0 pour le joueur, donc :\n$E(X) - m < 0$\n$336 - m < 0$\n$m > 336$\n\nConclusion : La mise minimale pour que le jeu soit avantageux aux organisateurs est 337 FCFA.\n\n## 10. Variance et ecart-type\n\nVariance : Mesure de la dispersion des valeurs autour de l'esperance :\n$$V(X) = E[(X - E(X))^2] = \\sum_{i} (x_i - E(X))^2 × p_i$$\n\nFormule pratique : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$\n\nEcart-type : $\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)}$\n\nApplication : Pour notre jeu, $E(X^2)$ se calcule :\n$E(X^2) = 0^2 × \\frac{13}{25} + 200^2 × \\frac{2}{25} + ... + 1500^2 × \\frac{2}{25}$\n$= \\frac{2}{25}(40000+160000+360000+250000+1000000+2250000)$\n$= \\frac{2}{25} × 4050000 = \\frac{8100000}{25} = 324000$\n\n$V(X) = 324000 - 336^2 = 324000 - 112896 = 211104$\n$\\sigma(X) ≈ \\sqrt{211104} ≈ 459.5$\n\nL'ecart-type eleve indique que les gains sont tres variables autour de la moyenne.