Primitives et Calcul intégral

Le cours

1. Notion de primitive\nUne fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et $F'(x) = f(x)$ pour tout x∈I.\n\nThéorème : Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme $F + C$ où C∈\mathbb{R}$.\n\n## 2. Primitives des fonctions de référence\n\n| Fonction f(x) | Primitive F(x) | Conditions |\n|--------------|----------------|------------|\n| $a$ (constante) | $ax + C$ | $a∈\\mathbb{R}$ |\n| $x$ | $\\frac{1}{2}x^2 + C$ | |\n| $x^m$ | $\\frac{x^{m+1}}{m+1} + C$ | $m∈\\mathbb{N}$ |\n| $\\frac{1}{x^m}$ | $-\\frac{1}{(m-1)x^{m-1}} + C$ | $m∈\\mathbb{N}\\{1}$ |\n| $\\frac{1}{x}$ | $\\ln|x| + C$ | $x \\neq 0$ |\n| $e^x$ | $e^x + C$ | |\n| $e^{ax+b}$ | $\\frac{1}{a}e^{ax+b} + C$ | $a \\neq 0$ |\n\n## 3. Opérations sur les primitives\n\n- Linéarité : Si F et G sont des primitives de f et g, alors $aF + bG$ est une primitive de $af + bg$.\n\n- Primitives de $u'u^m$ : $\\frac{u^{m+1}}{m+1} + C$ pour $m \\neq -1$\n\n- Primitives de $\\frac{u'}{u}$ : $\\ln|u| + C$\n\n## 4. Définition de l'intégrale\nSi f est continue sur [a,b] et F est une primitive de f, alors :\n$$\\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$\nNotation : $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.\n\nExemple : $\\int_1^3 (2x+1)dx = [x^2 + x]_1^3 = (9+3)-(1+1) = 12-2 = 10$\n\n## 5. Interprétation géométrique de l'intégrale\n\nSi f ≥ 0 sur [a,b], alors $\\int_a^b f(x)dx$ représente l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par :\n- La courbe de f\n- L'axe des abscisses\n- Les droites x = a et x = b\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Aire sous la courbe f(x) = x² entre x=1 et x=3",\n "xRange": [0, 4],\n "yRange": [0, 10],\n "functions": [\n { "expression": "x^2", "color": "#8b5cf6", "name": "f(x) = x²", "fill": true }\n ],\n "verticalLines": [\n { "x": 1, "color": "#10b981", "name": "x=1" },\n { "x": 3, "color": "#10b981", "name": "x=3" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "fillBetween": { "start": 1, "end": 3 }\n}\n\n\n## 6. Calcul d'aires entre deux courbes\n\nSi f et g sont continues sur [a,b] avec $f(x) \\geq g(x)$, l'aire entre les courbes est :\n$$A = \\int_a^b [f(x) - g(x)]dx$$\n\nExemple ivoirien : Calculer l'aire entre $f(x) = x+2$ et $g(x) = x^2$ sur [-1,2], représentant deux modèles de production agricole à Gagnoa.\n\n## 7. Propriétés de l'intégrale\n\n1. Linéarité : $\\int_a^b (\\alpha f + \\beta g) = \\alpha \\int_a^b f + \\beta \\int_a^b g$\n2. Relation de Chasles : $\\int_a^b f = \\int_a^c f + \\int_c^b f$\n3. Positivité : Si f ≥ 0 sur [a,b], alors $\\int_a^b f \\geq 0$\n4. Inégalité : Si f ≤ g sur [a,b], alors $\\int_a^b f \\leq \\int_a^b g$\n\n## 8. Applications concrètes en Côte d'Ivoire\n\n- Calcul de surfaces de parcelles agricoles\n- Estimation de volumes de réservoirs d'eau\n- Modélisation de coûts de production cumulés\n\nExemple : Le bénéfice cumulé d'une entreprise abidjanaise sur 5 ans est modélisé par $\\int_0^5 (100t - t^2)dt$.\n\n## 9. Technique du changement de variable\n\nPour $\\int_a^b f(u(x))u'(x)dx$, on pose $t = u(x)$, donc $dt = u'(x)dx$ et :\n$$\\int_{x=a}^{x=b} f(u(x))u'(x)dx = \\int_{t=u(a)}^{t=u(b)} f(t)dt$$\n\n## 10. Retour à la situation du pont\n\nPour calculer l'aire sous un arc de parabole d'équation $y = -x^2 + 4$ entre x=-2 et x=2 :\n$$A = \\int_{-2}^2 (-x^2 + 4)dx = \\left[-\\frac{x^3}{3} + 4x\\right]_{-2}^2$$\n$$= \\left(-\\frac{8}{3} + 8\\right) - \\left(\\frac{8}{3} - 8\\right) = \\frac{16}{3} + \\frac{16}{3} = \\frac{32}{3} \\text{ unités d'aire}$$