Fonction logarithme népérien

Le cours

1. Définition et notation\nLa fonction logarithme népérien, notée $\\ln$, est la fonction définie sur $]0,+\\infty[$ qui à $x>0$ associe l'unique réel y tel que $e^y = x$.\n\nPropriété fondamentale : $\\ln(e^x) = x$ pour tout $x∈\\mathbb{R}$ et $e^{\\ln x} = x$ pour tout $x>0$.\n\n## 2. Valeurs particulières\n\n- $\\ln(1) = 0$\n- $\\ln(e) = 1$\n- $e \\approx 2,71828$\n\nmermaid\ngraph LR\n A[x > 0] --> B[ln x = y]\n B --> C[e^y = x]\n C --> A\n\n\n## 3. Signe et variations\n\n- $\\ln x < 0$ pour $0 < x < 1$\n- $\\ln x = 0$ pour $x = 1$\n- $\\ln x > 0$ pour $x > 1$\n\nLa fonction ln est strictement croissante sur $]0,+\\infty[$.\n\n## 4. Dérivée\n\nPour $x > 0$, $(\\ln x)' = \\frac{1}{x}$.\n\nConséquences :\n- $(\\ln(ax+b))' = \\frac{a}{ax+b}$ pour $ax+b > 0$\n- $(a\\ln x + b)' = \\frac{a}{x}$\n\n## 5. Propriétés algébriques\n\nPour $a>0$, $b>0$, $n∈\\mathbb{Z}$ :\n\n1. $\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$\n2. $\\ln(\\frac{a}{b}) = \\ln a - \\ln b$\n3. $\\ln(a^n) = n\\ln a$\n4. $\\ln(\\sqrt{a}) = \\frac{1}{2}\\ln a$\n\nComparaison : $\\ln a < \\ln b ⇔ a < b$\n\n## 6. Limites importantes\n\n| Limite | Résultat |\n|--------|----------|\n| $\\lim_{x \\to 0^+} \\ln x$ | $-\\infty$ |\n| $\\lim_{x \\to +\\infty} \\ln x$ | $+\\infty$ |\n| $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{\\ln x}{x}$ | $0$ |\n| $\\lim_{x \\to 0^+} x\\ln x$ | $0$ |\n\n## 7. Équations et inéquations avec ln\n\nÉquations : $\\ln A = \\ln B ⇔ A = B > 0$\n\nInéquations : $\\ln A < \\ln B ⇔ 0 < A < B$\n\nExemple : Résoudre $\\ln(2x-1) = 3$ :\n$2x-1 = e^3$ donc $x = \\frac{e^3+1}{2}$\n\n## 8. Étude de fonctions avec ln\n\nType 1 : $f(x) = a\\ln x + b$\n- Dérivée : $f'(x) = \\frac{a}{x}$\n- Variations : dépend du signe de a\n\nType 2 : $f(x) = \\ln(ax+b)$\n- Domaine : $ax+b > 0$\n- Dérivée : $f'(x) = \\frac{a}{ax+b}$\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonction logarithme népérien et ses variations",\n "xRange": [0.1, 5],\n "yRange": [-3, 2],\n "functions": [\n { "expression": "ln(x)", "color": "#3b82f6", "name": "ln(x)" },\n { "expression": "2*ln(x) - 1", "color": "#ef4444", "name": "2ln(x)-1" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "points": [\n { "x": 1, "y": 0, "color": "#10b981", "name": "(1,0)" },\n { "x": 2.718, "y": 1, "color": "#8b5cf6", "name": "(e,1)" }\n ]\n}\n\n\n## 9. Application à la situation de dépistage\n\nOn cherche n tel que : $1 - (0,325)^n > 0,98$\nSoit : $-(0,325)^n > -0,02$\n$(0,325)^n < 0,02$\n\nEn appliquant ln (fonction croissante) :\n$\\ln[(0,325)^n] < \\ln(0,02)$\n$n \\ln(0,325) < \\ln(0,02)$\n\nOr $\\ln(0,325) ≈ -1,124$ (négatif), donc en divisant, le sens change :\n$n > \\frac{\\ln(0,02)}{\\ln(0,325)} ≈ \\frac{-3,912}{-1,124} ≈ 3,48$\n\nDonc $n \\geq 4$ (car n entier). Il faut examiner au moins 4 élèves.\n\n## 10. Applications en économie ivoirienne\n\n- Calcul du temps de doublement d'un investissement\n- Modélisation de décroissance exponentielle (dépréciation)\n- Résolution d'équations exponentielles en finance