Fonction exponentielle népérienne

Le cours

1. Définition et notation\nLa fonction exponentielle népérienne, notée $\\exp$ ou $e^x$, est la fonction réciproque du logarithme népérien.\n\nDéfinition : Pour tout $x∈\\mathbb{R}$, $e^x$ est l'unique nombre réel strictement positif dont le logarithme népérien est x : $\\ln(e^x) = x$.\n\n## 2. Propriétés algébriques fondamentales\n\nPour tous $a,b∈\\mathbb{R}$, $n∈\\mathbb{Z}$ :\n\n1. $e^{a+b} = e^a \\cdot e^b$\n2. $e^{a-b} = \\frac{e^a}{e^b}$\n3. $(e^a)^n = e^{na}$\n4. $e^0 = 1$\n5. $e^a = e^b ⇔ a = b$\n6. $e^a < e^b ⇔ a < b$\n\n## 3. Signe et variations\n\n- $e^x > 0$ pour tout $x∈\\mathbb{R}$\n- $e^x = 1$ pour $x = 0$\n- $e^x < 1$ pour $x < 0$\n- $e^x > 1$ pour $x > 0$\n\nLa fonction $x → e^x$ est strictement croissante sur $\\mathbb{R}$.\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Fonction exponentielle] --> B[Croissance rapide]\n A --> C[Toujours positive]\n A --> D[Réciproque de ln]\n B --> E[Modélisation croissance]\n C --> F[Modélisation positive]\n\n\n## 4. Dérivée\n\nPour tout $x∈\\mathbb{R}$, $(e^x)' = e^x$.\n\nConséquences :\n- $(e^{ax+b})' = ae^{ax+b}$\n- $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$\n\n## 5. Limites importantes\n\n| Limite | Résultat |\n|--------|----------|\n| $\\lim_{x \\to -\\infty} e^x$ | $0$ |\n| $\\lim_{x \\to +\\infty} e^x$ | $+\\infty$ |\n| $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{e^x}{x}$ | $+\\infty$ |\n| $\\lim_{x \\to -\\infty} xe^x$ | $0$ |\n\n## 6. Courbe représentative\n\nLa courbe de $x → e^x$ :\n- Passe par (0,1)\n- Est au-dessus de l'axe des abscisses\n- Admet l'axe des abscisses comme asymptote en $-\\infty$\n- Présente une croissance de plus en plus rapide\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonction exponentielle et décroissance exponentielle",\n "xRange": [-2, 4],\n "yRange": [-1, 10],\n "functions": [\n { "expression": "exp(x)", "color": "#3b82f6", "name": "exp(x)" },\n { "expression": "50*exp(-0.75*x)", "color": "#ef4444", "name": "M(t)=50e^{-0.75t}" }\n ],\n "horizontalLines": [\n { "y": 0, "color": "#10b981", "name": "Asymptote", "lineStyle": "dashed" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x ou t",\n "yLabel": "y",\n "points": [\n { "x": 0, "y": 1, "color": "#8b5cf6", "name": "(0,1)" },\n { "x": 0, "y": 50, "color": "#ef4444", "name": "M(0)=50" }\n ]\n}\n\n\n## 7. Équations et inéquations avec exp\n\nÉquations : $e^{A} = e^{B} ⇔ A = B$\n\nInéquations : $e^{A} < e^{B} ⇔ A < B$ (car exp est croissante)\n\nExemple : Résoudre $e^{2x-1} = 3$ :\n$2x-1 = \\ln 3$ donc $x = \\frac{\\ln 3 + 1}{2}$\n\n## 8. Étude de fonctions avec exp\n\nType 1 : $f(x) = ae^x + b$\n- Dérivée : $f'(x) = ae^x$\n- Variations : dépend du signe de a\n\nType 2 : $f(x) = (ax+b)e^x$\n- Dérivée : $f'(x) = ae^x + (ax+b)e^x = (ax + a + b)e^x$\n\nType 3 : $f(x) = \\frac{e^x}{ax+b}$ (avec $ax+b \\neq 0$)\n- Dérivée : $f'(x) = \\frac{e^x(ax+b) - ae^x}{(ax+b)^2} = \\frac{e^x(ax+b-a)}{(ax+b)^2}$\n\n## 9. Application à la situation médicale\n\nPour $M(t) = 50e^{-0,75t}$ :\n\n1. Valeur initiale : $M(0) = 50e^0 = 50$ mg\n2. Limite : $\\lim_{t \\to +\\infty} M(t) = 0$ (le médicament est éliminé)\n3. Dérivée : $M'(t) = 50 \\times (-0,75)e^{-0,75t} = -37,5e^{-0,75t} < 0$\n4. Variations : M est strictement décroissante (élimination progressive)\n5. Demi-vie : Temps t tel que $M(t) = 25$ mg :\n $50e^{-0,75t} = 25$\n $e^{-0,75t} = 0,5$\n $-0,75t = \\ln 0,5$\n $t = -\\frac{\\ln 0,5}{0,75} ≈ -\\frac{-0,693}{0,75} ≈ 0,924$ heure ≈ 55 minutes\n\n## 10. Applications en Côte d'Ivoire\n\n- Modélisation de la croissance démographique\n- Décroissance radioactive (dans la recherche)\n- Finance : intérêts composés continus\n- Pharmacologie : élimination des médicaments\n\nExemple économique : Un investissement de 1 000 000 FCFA au taux de 5% annuel en composition continue donne après t ans : $A(t) = 1 000 000e^{0,05t}$.