Vecteurs et points du plan

Le cours

Vecteurs et points du plan

1. Notion de vecteur

Définition intuitive : Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par : - Une direction - Un sens - Une longueur (norme)

En physique : Force, vitesse, accélération En géographie : Déplacement, vent En économie : Flux de marchandises

Notation : \(\vec{u}\), \(\vec{AB}\) (vecteur de A vers B)

2. Égalité de vecteurs

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont : - Même direction - Même sens - Même norme

Relation de Chasles : \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)

Vecteur nul : \(\vec{0}\), norme nulle, direction indéfinie

3. Opérations sur les vecteurs

a) Somme : - Règle du parallélogramme - Règle de l'extrémité à l'origine

Propriétés : - Commutativité : \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\) - Associativité : \(\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}\) - Élément neutre : \(\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}\)

b) Multiplication par un scalaire : - \(k\vec{u}\) a même direction que \(\vec{u}\) - Même sens si k>0, sens opposé si k<0 - Norme multipliée par |k|

4. Combinaison linéaire

Définition : \(\vec{w}\) est combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) s'il existe a,b∈ℝ tels que \(\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}\)

Exemple : \(\vec{AP} = 2\vec{AB} - \vec{AC}\) - P est obtenu à partir de A par combinaison linéaire de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) - Coefficients : a=2, b=-1

5. Vecteurs colinéaires

Définition : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe k∈ℝ tel que \(\vec{v} = k\vec{u}\)

Caractérisation : Même direction (ou opposée)

Application : Points alignés A, B, C alignés ⇔ \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) colinéaires

6. Base du plan

Définition : Deux vecteurs non colinéaires \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) forment une base. Tout vecteur \(\vec{u}\) s'écrit de façon unique : \(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\) (x,y) sont les coordonnées de \(\vec{u}\) dans la base (\(\vec{i},\vec{j}\))

Base orthonormée : \(\vec{i} ⊥ \vec{j}\) et ||\(\vec{i}\)|| = ||\(\vec{j}\)|| = 1

7. Repère du plan

Définition : (O, \(\vec{i},\vec{j}\)) où O est un point et (\(\vec{i},\vec{j}\)) une base.

Coordonnées d'un point : M a pour coordonnées (x,y) si \(\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}\)

8. Norme d'un vecteur

Dans une base orthonormée : Si \(\vec{u}(x,y)\) alors ||\(\vec{u}\)|| = √(x² + y²)

Distance entre deux points : AB = ||\(\vec{AB}\)|| = √[(xB-xA)² + (yB-yA)²]

9. Déterminant de deux vecteurs

Définition : Dans une base (\(\vec{i},\vec{j}\)), si \(\vec{u}(x,y)\) et \(\vec{v}(x',y')\) : det(\(\vec{u},\vec{v}\)) = xy' - x'y

Interprétation géométrique : - det(\(\vec{u},\vec{v}\)) = 0 ⇔ \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires - |det(\(\vec{u},\vec{v}\))| = aire du parallélogramme construit sur \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\)

10. Applications à la géométrie

a) Alignement de trois points : A, B, C alignés ⇔ det(\(\vec{AB},\vec{AC}\)) = 0

b) Parallélisme de deux droites : (AB) // (CD) ⇔ \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) colinéaires ⇔ det(\(\vec{AB},\vec{CD}\)) = 0

c) Équation cartésienne d'une droite : M(x,y) ∈ (AB) ⇔ det(\(\vec{AM},\vec{AB}\)) = 0 ⇔ (x-xA)(yB-yA) - (y-yA)(xB-xA) = 0

11. Mesure algébrique

Sur une droite orientée, la mesure algébrique AB est : - Positive si sens de A vers B = sens de l'orientation - Négative sinon - AB = -BA

12. Vecteur unitaire

Vecteur de norme 1. Si \(\vec{u}\) non nul, \(\vec{u}_1 = \frac{\vec{u}}{||\vec{u}||}\) est unitaire.

13. Construction géométrique

Méthode pour construire M tel que \(\vec{OM} = \vec{u}\) : 1. Placer l'origine O 2. Tracer le représentant de \(\vec{u}\) d'origine O 3. L'extrémité est M

Combinaison linéaire : Pour construire \(\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}\) : 1. Construire a\(\vec{u}\) 2. Construire b\(\vec{v}\) 3. Les mettre bout à bout

14. Applications en contexte ivoirien

Urbanisme : - Plan de lotissement - Réseau routier - Implantation de bâtiments

Agriculture : - Parcelles rectangulaires - Systèmes d'irrigation - Chemins d'accès

Transport : - Itinéraires - Distances - Directions

Architecture : - Plans de construction - Répartition des espaces

15. Exemples concrets

Exemple 1 : Champ rectangulaire Un agriculteur a un champ ABCD rectangle. \(\vec{AB}\) représente la longueur, \(\vec{AD}\) la largeur. La diagonale \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\)

Exemple 2 : Navigation sur la lagune Ébrié Un bateau part de A, va vers B (\(\vec{AB}\)), puis vers C (\(\vec{BC}\)). Le déplacement total est \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\)

Exemple 3 : Forces sur un pont Plusieurs forces s'appliquent sur un pont. La force résultante est la somme vectorielle de toutes les forces.

16. Méthodes de démonstration

Pour prouver l'alignement : 1. Calculer \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) 2. Montrer qu'ils sont colinéaires 3. Conclure A, B, C alignés

Pour prouver le parallélisme : 1. Calculer \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) 2. Montrer qu'ils sont colinéaires 3. Conclure (AB) // (CD)

17. Calcul pratique avec coordonnées

Dans un repère orthonormé (O, \(\vec{i},\vec{j}\)) : - A(xA, yA), B(xB, yB) - \(\vec{AB}(xB-xA, yB-yA)\) - ||\(\vec{AB}\)|| = √[(xB-xA)² + (yB-yA)²] - Milieu I de [AB] : I((xA+xB)/2, (yA+yB)/2)

18. Exercice type

Énoncé : A(1,2), B(4,6), C(7,10) Montrer que A, B, C sont alignés.

Solution : \(\vec{AB}(3,4)\), \(\vec{AC}(6,8)\) det(\(\vec{AB},\vec{AC}\)) = 3×8 - 4×6 = 24 - 24 = 0 Donc \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) colinéaires, donc A, B, C alignés.

19. Problèmes de construction

Exemple : Construire le point M tel que \(\vec{AM} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC}\)

Méthode : 1. Construire 2\(\vec{AB}\) (dilatation de \(\vec{AB}\) par 2) 2. Construire 3\(\vec{AC}\) 3. Construire -3\(\vec{AC}\) (sens opposé) 4. Mettre bout à bout 2\(\vec{AB}\) et -3\(\vec{AC}\)

20. Importance en mathématiques

Les vecteurs sont fondamentaux pour : - La géométrie analytique - La physique - L'algèbre linéaire - L'analyse

Ils permettent une approche à la fois géométrique et algébrique des problèmes.