Équations et inéquations dans ℝ

Le cours

Équations et inéquations dans ℝ

1. Équations équivalentes

Deux équations sont équivalentes si elles ont les mêmes solutions.

Transformations équivalentes : 1. Ajouter/soustraire un même nombre aux deux membres 2. Multiplier/diviser par un même nombre non nul

Attention : Multiplier par zéro n'est pas équivalent !

2. Ensemble de validité

Avant de résoudre une équation ou inéquation, déterminer l'ensemble des valeurs où elle a un sens.

Exemple ivoirien : Résoudre (x-100)/(x-50) ≥ 0 dans le contexte de prix de vente. Ensemble de validité : ℝ{50} (tous les réels sauf 50)

3. Résolution d'équations polynomiales

Premier degré : ax + b = 0 (a≠0) ⇒ x = -b/a

Second degré : ax² + bx + c = 0 (a≠0) - Δ = b² - 4ac - Si Δ > 0 : Deux solutions x₁,₂ = (-b ± √Δ)/(2a) - Si Δ = 0 : Solution double x₀ = -b/(2a) - Si Δ < 0 : Pas de solution réelle

Exemple agricole : Un champ de riz produit selon P(x)=0.5x²+20x où x est l'engrais en kg. Quand la production atteint 1000kg ? 0.5x²+20x=1000 ⇒ 0.5x²+20x-1000=0 Δ=400+2000=2400 ⇒ √Δ≈49 Solutions : x≈(-20±49)/1 ⇒ x≈29 ou x≈-69 (négatif impossible) Donc x≈29kg d'engrais

4. Résolution d'inéquations polynomiales

Méthode : 1. Mettre tous les termes dans un membre 2. Factoriser le polynôme 3. Étudier le signe de chaque facteur 4. Faire un tableau de signes 5. Conclure selon l'inégalité

Exemple économique : Un vendeur de poisson à Abobo veut un bénéfice B(x)≥0 où B(x)=-0.2x²+30x-200 Résoudre -0.2x²+30x-200≥0 ⇒ 0.2x²-30x+200≤0 (multiplier par -1, changer sens) Δ=900-160=740>0 Racines : x=(30±√740)/0.4 ≈ (30±27.2)/0.4 x₁≈7, x₂≈143 Signe : ≤0 entre les racines Donc 7≤x≤143 kg pour avoir un bénéfice positif

5. Équations avec valeurs absolues

Types : 1. |f(x)| = k (k≥0) ⇒ f(x)=k OU f(x)=-k 2. |f(x)| = |g(x)| ⇒ f(x)=g(x) OU f(x)=-g(x) 3. |f(x)| = g(x) ⇒ {g(x)≥0 et [f(x)=g(x) OU f(x)=-g(x)]}

Exemple transport : Distance entre deux gares routières : |x-50|=10 où x est la position d'un bus. Solutions : x=40km ou x=60km

6. Inéquations avec valeurs absolues

Règles : 1. |f(x)| < k (k>0) ⇒ -k < f(x) < k 2. |f(x)| > k (k>0) ⇒ f(x) < -k OU f(x) > k 3. |f(x)| ≤ |g(x)| ⇒ f²(x) ≤ g²(x)

7. Équations rationnelles

Méthode : 1. Déterminer l'ensemble de validité (dénominateur≠0) 2. Réduire au même dénominateur 3. Résoudre numérateur=0 4. Vérifier que les solutions sont dans l'ensemble de validité

8. Inéquations rationnelles

Méthode similaire avec tableau de signes incluant le dénominateur.

Exemple santé : Taux de vaccination (x-80)/(x-60) ≥ 1 où x est le pourcentage ⇒ (x-80)/(x-60) - 1 ≥ 0 ⇒ [(x-80)-(x-60)]/(x-60) ≥ 0 ⇒ -20/(x-60) ≥ 0 ⇒ x-60 < 0 (car -20<0) ⇒ x < 60%

9. Applications concrètes en Côte d'Ivoire

Agriculture : - Déterminer la quantité d'engrais optimale - Calculer les seuils de rentabilité

Commerce : - Fixer les prix pour maximiser les bénéfices - Déterminer les quantités à vendre

Transport : - Calculer les distances optimales - Résoudre des problèmes d'horaire

Éducation : - Déterminer les seuils de réussite - Calculer les moyennes minimales

10. Problèmes modélisés

Exemple complet : Une coopérative de café produit C(x)=100x-0.5x² kg où x est l'investissement en milliers de FCFA. Quand la production dépasse 2000kg ? 100x-0.5x² > 2000 ⇒ -0.5x²+100x-2000 > 0 ⇒ 0.5x²-100x+2000 < 0 Δ=10000-4000=6000 Racines : x=(100±√6000) ≈ (100±77.5) x₁≈11.25, x₂≈88.75 Solution : 11.25 < x < 88.75 milliers de FCFA