Utilisation des symétries et translations

Le cours

Utilisation des symétries et translations

1. Rappel des transformations

Translation : Déplacement selon un vecteur 𝑢̂ Notation : t_𝑢̂ Propriété : t_𝑢̂(M) = M' tel que 𝑀𝑀′̂ = 𝑢̂

Symétrie orthogonale (symétrie axiale) : Réflexion par rapport à une droite (d) Notation : s_(d) Propriété : (d) médiatrice de [MM']

Symétrie centrale : Rotation de 180° autour d'un point O Notation : s_O Propriété : O milieu de [MM']

2. Propriété caractéristique de la translation

Théorème : La translation est la seule transformation qui conserve les milieux. Si une transformation f vérifie : pour tout A, B, si I milieu de [AB], alors f(I) milieu de [f(A)f(B)], alors f est une translation.

Conséquence : La translation conserve : - Les distances - Les angles - Le parallélisme - L'alignement - Les milieux - Les aires

3. Utilisation des symétries orthogonales

Construction de figures : Pour construire le symétrique d'une figure par rapport à une droite : 1. Choisir des points caractéristiques 2. Construire leurs symétriques (perpendiculaire à l'axe, à égale distance) 3. Relier les points symétriques

Exemple : Construction d'un drapeau ivoirien Les bandes verticales peuvent être vues comme des translations ou des symétries.

4. Utilisation des symétries centrales

Construction : Pour construire le symétrique par rapport à un point O : 1. Tracer la demi-droite [OM) 2. Porter OM' = OM de l'autre côté de O 3. M' est le symétrique

Application : Rosaces, motifs décoratifs

5. Translations pour les frises et pavages

Frises : Motifs se répétant par translation selon une direction

Pavages : Recouvrement du plan par des motifs identiques

Exemple ivoirien : - Les tissus wax : motifs répétés par translation - Les mosaïques traditionnelles : combinaison de symétries et translations

6. Démonstrations utilisant les transformations

Méthode : Pour démontrer une égalité ou une propriété : 1. Identifier une transformation appropriée 2. Montrer qu'elle envoie une figure sur une autre 3. En déduire les propriétés voulues

Exemple : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme ABCD est un parallélogramme si la symétrie de centre O (intersection des diagonales) envoie A sur C et B sur D.

7. Détermination d'ensembles de points

Problème type : Déterminer l'ensemble des points M tels que ...

Méthode avec transformations : 1. Exprimer la condition en termes de distances ou d'angles 2. Reconnaître une transformation 3. En déduire que M est l'image d'un point connu par cette transformation 4. L'ensemble cherché est une droite, un cercle, etc.

Exemple : Ensemble des M tels que MA = MB C'est la médiatrice de [AB] (axe de symétrie)

8. Composition de transformations

Règles : - Deux symétries orthogonales d'axes parallèles : translation - Deux symétries orthogonales d'axes sécants : rotation - Deux symétries centrales : translation - Translation suivie de symétrie : symétrie glissée

9. Symétrie glissée

Définition : Composition d'une symétrie axiale et d'une translation parallèle à l'axe.

Exemple : Empreintes de pas : symétrie glissée

10. Applications artistiques

Art africain : - Motifs géométriques des tissus bogolan - Frises sur les poteries - Symétries dans les masques

Architecture : - Répétition des fenêtres (translation) - Symétrie des façades - Motifs des balustrades

11. Construction de figures imposées

Exemple : Construire un carré ABCD connaissant A et B Méthode : 1. Translation pour trouver D : D = t_𝐴𝐵̂(C) ? Non 2. Symétrie de centre milieu ? 3. Rotation de 90°

Meilleure méthode : 1. Tracer le cercle de diamètre [AB] 2. Construire la perpendiculaire à (AB) en A 3. Intersection avec le cercle donne D 4. Symétrie centrale pour trouver C

12. Problèmes de construction sous contraintes

Exemple : Construire un parallélogramme ABCD tel que C∈(d) et D∈(Δ) avec (d) et (Δ) sécantes.

Solution : Utiliser la translation de vecteur 𝐴𝐵̂ D est sur (Δ) et C est sur (d) avec 𝐷𝐶̂ = 𝐴𝐵̂ Donc D = (Δ) ∩ t_𝐴𝐵̂⁻¹((d))

13. Conservation des propriétés

Translation conserve : - Distances (isométrie) - Angles (similitude directe) - Alignement - Milieux - Aires

Symétrie orthogonale conserve : - Distances (isométrie) - Angles mais change leur sens (similitude indirecte)

14. Utilisation en coordonnées

Translation de vecteur 𝑢̂(a,b) : M(x,y) → M'(x+a, y+b)

Symétrie axiale d'axe (Ox) : M(x,y) → M'(x, -y)

Symétrie axiale d'axe (Oy) : M(x,y) → M'(-x, y)

Symétrie centrale de centre O(0,0) : M(x,y) → M'(-x, -y)

15. Applications concrètes en Côte d'Ivoire

Urbanisme : - Implantation symétrique des bâtiments - Plan en damier des rues (translations)

Agriculture : - Plantations en lignes parallèles (translations) - Parcelles rectangulaires (symétries)

Transport : - Voies parallèles - Échangeurs symétriques

Artisanat : - Tissage : motifs répétés - Vannerie : symétries

16. Exemples de frises

Types de frises (classification) : 1. Translation seule 2. Translation + symétrie verticale 3. Translation + symétrie horizontale 4. Translation + symétrie centrale 5. Translation + symétrie glissée

Exemple traditionnel : Motif Adinkra (Ghana/Côte d'Ivoire)

17. Pavages du plan

Pavage régulier : - Triangles équilatéraux - Carrés - Hexagones

Pavage semi-régulier : Combinaison de polygones réguliers

Application : Carrelage, mosaïques

18. Figures fractales

Principe : Motif répété à différentes échelles

Construction du triangle de Sierpinski : 1. Partir d'un triangle équilatéral 2. Relier les milieux des côtés pour former 4 petits triangles 3. Enlever le triangle central 4. Répéter avec les 3 triangles restants

Utilise : Homothéties et translations

19. Méthodologie de résolution

Pour un problème de construction : 1. Analyser les données et contraintes 2. Identifier les transformations utiles 3. Construire point par point 4. Vérifier

Pour un problème de démonstration : 1. Repérer des égalités de distances ou d'angles 2. Chercher une transformation qui les explique 3. Appliquer les propriétés de la transformation 4. Conclure

20. Importance des transformations

Les transformations permettent : - Une approche dynamique de la géométrie - De simplifier des problèmes complexes - De classifier les figures - De créer des motifs artistiques - De modéliser des mouvements

Elles font le lien entre géométrie et algèbre.