Statistique à une variable

Le cours

Statistique à une variable

1. Introduction aux données statistiques

En Côte d'Ivoire, les statistiques sont cruciales pour : - Évaluer le développement économique - Planifier les politiques publiques - Analyser les besoins sociaux - Mesurer l'efficacité des programmes

Variable statistique : Caractère étudié (revenu, âge, taille, etc.) - Qualitative : Modalités non numériques (région, profession) - Quantitative : Valeurs numériques (discrete ou continue)

2. Organisation des données

Tableau statistique :

Effectif total : N = Σni = 20 Fréquence : fi = ni/N (souvent en pourcentage : fi×100%)

3. Paramètres de position

a) Moyenne : x̄ = (Σ nixi) / N = (5×130 + 9×140 + 6×150) / 20 = (650 + 1260 + 900) / 20 = 2810 / 20 = 140.5

Interprétation : Le revenu moyen est 140 500 FCFA/an

b) Médiane : Valeur qui partage la série en deux parties égales

Méthode : 1. Ordonner les valeurs 2. Si N impair : médiane = valeur du milieu 3. Si N pair : médiane = moyenne des deux valeurs centrales

Exemple : N=20 (pair) - 10ème valeur : 140 - 11ème valeur : 140 - Médiane = (140+140)/2 = 140

Interprétation : 50% des personnes gagnent ≤140 000 FCFA

c) Mode : Valeur la plus fréquente Mode = 140 (effectif 9)

4. Paramètres de dispersion

a) Étendue : e = xmax - xmin = 150 - 130 = 20

b) Variance : Moyenne des carrés des écarts à la moyenne V = (Σ ni(xi - x̄)²) / N = [5×(130-140.5)² + 9×(140-140.5)² + 6×(150-140.5)²] / 20 = [5×110.25 + 9×0.25 + 6×90.25] / 20 = (551.25 + 2.25 + 541.5) / 20 = 1095 / 20 = 54.75

c) Écart-type : σ = √V = √54.75 ≈ 7.4

Interprétation : Les revenus s'écartent en moyenne de 7 400 FCFA du revenu moyen

d) Écart moyen : Moyenne des valeurs absolues des écarts EM = (Σ ni|xi - x̄|) / N = [5×10.5 + 9×0.5 + 6×9.5] / 20 = (52.5 + 4.5 + 57) / 20 = 114 / 20 = 5.7

5. Cas des données groupées en classes

Exemple : Salaires mensuels dans une entreprise d'Abidjan

Calcul de la moyenne : x̄ = (Σ nici) / N = (8×110 + 12×130 + 15×150 + 10×170 + 5×190) / 50 = (880 + 1560 + 2250 + 1700 + 950) / 50 = 7340 / 50 = 146.8

Classe modale : Classe avec le plus grand effectif → [140, 160[

6. Représentations graphiques

a) Diagramme en bâtons : Pour données discrètes - Axe horizontal : valeurs xi - Axe vertical : effectifs ni ou fréquences fi

b) Histogramme : Pour données groupées en classes - Surface des rectangles proportionnelle aux effectifs - Si amplitudes égales : hauteur = effectif - Si amplitudes inégales : hauteur = densité = ni/amplitude

c) Polygone des effectifs cumulés : - Courbe joignant les points (borne supérieure, effectif cumulé) - Permet de lire la médiane graphiquement

7. Effectifs et fréquences cumulés

Effectif cumulé croissant : Nombre d'individus avec valeur ≤ xi Fréquence cumulée croissante : Proportion d'individus avec valeur ≤ xi

Exemple :

8. Détermination graphique de la médiane

Méthode : 1. Tracer le polygone des FCC 2. Chercher l'abscisse correspondant à FCC=0.5 3. Lire la médiane sur l'axe horizontal

Pour données groupées : Interpolation linéaire dans la classe médiane

9. Applications en contexte ivoirien

Agriculture : - Distribution des rendements de cacao par région - Analyse des superficies cultivées

Éducation : - Distribution des notes au BEPC - Analyse des taux de réussite par établissement

Santé : - Distribution des âges dans une population - Analyse des indicateurs de santé

Économie : - Distribution des revenus - Analyse des prix des produits de première nécessité

10. Critères de pauvreté (situation d'apprentissage)

Données : Revenus : 130, 130, 130, 130, 130, 140, 140, 140, 140, 140, 140, 140, 140, 140, 150, 150, 150, 150, 150, 150

Analyse : 1. Revenu moyen = 140.5 < 180 ⇒ Population pauvre 2. Médiane = 140 3. Proportion avec revenu < 140.5 : 5/20 = 25% < 50% ⇒ Pas extrêmement pauvre

11. Utilisation de la calculatrice

Touche STAT permet de : 1. Entrer les données 2. Calculer automatiquement : moyenne, écart-type, etc. 3. Générer des graphiques

12. Logiciels tableurs (Excel)

Fonctions utiles : - MOYENNE() - MEDIANE() - ECARTYPE() - VAR() - FREQUENCE() pour les histogrammes

13. Interprétation critique

Attention aux : - Moyenne sensible aux valeurs extrêmes - Médiane plus robuste - Écart-type pour mesurer la dispersion - Choix des classes peut influencer l'analyse

14. Exemple complet : Notes au BEPC

Données : Notes sur 20 : 8, 10, 12, 14, 16, 8, 9, 11, 13, 15

Analyse : - Moyenne = 11.6 - Médiane = 11.5 (entre 11 et 12) - Écart-type ≈ 2.8 - Étendue = 8

15. Projets statistiques

Idées pour la Côte d'Ivoire : 1. Enquête sur les dépenses scolaires 2. Étude des temps de transport 3. Analyse des consommations d'eau 4. Étude des superficies agricoles

Méthodologie : 1. Définir la population et l'échantillon 2. Concevoir le questionnaire 3. Collecter les données 4. Analyser statistiquement 5. Interpréter et conclure