Rotations

Le cours

Rotations

1. Définition

Rotation de centre O et d'angle α : Transformation qui à tout point M associe M' tel que : 1. OM = OM' 2. Angle(𝑂𝑀̂,𝑂𝑀′̂) = α

Notation : r(O, α)

Sens : - α > 0 : sens trigonométrique (inverse des aiguilles) - α < 0 : sens horaire - α = 0 : identité - α = π : symétrie centrale

2. Points invariants

Centre O : Le seul point invariant (si α ≠ 0 mod 2π)

Cas particuliers : - α = 0 : tous points invariants - α = π : symétrie centrale, seuls les points alignés avec O peuvent être invariants autrement

3. Propriété fondamentale

Conservation des distances : La rotation est une isométrie : M'N' = MN

Conséquences : - Conservation des angles - Conservation des aires - Conservation de l'alignement - Conservation du parallélisme - Conservation de l'orthogonalité

4. Image de figures simples

Droite : Droite faisant un angle α avec l'originale Segment : Segment de même longueur Cercle : Cercle de même rayon, centre image du centre Polygone : Polygone isométrique

5. Construction de l'image d'un point

Méthode au compas et rapporteur : 1. Tracer le cercle de centre O passant par M 2. À partir de M, porter l'angle α sur le cercle 3. M' est l'intersection

Méthode géométrique (pour angles particuliers) : - 90° : utiliser la perpendiculaire - 60° : utiliser triangle équilatéral - 45° : utiliser bissectrice d'angle droit

6. Angle de la rotation

Détermination : Si on connaît un point M et son image M', alors α = angle(𝑂𝑀̂,𝑂𝑀′̂)

Mesure : En degrés ou radians

7. Rotations et triangles isométriques

Théorème : Deux triangles sont isométriques si et seulement si il existe une isométrie (rotation, translation, symétrie) envoyant l'un sur l'autre.

8. Composition de rotations

Même centre : r(O, α) ∘ r(O, β) = r(O, α+β)

Centres différents : En général, une rotation (sauf si α+β = 0 mod 2π : translation)

9. Caractérisation d'une rotation

Une rotation est caractérisée par : 1. Son centre O, un point A et son image A' 2. Son angle α, un point A et son image A' 3. Deux points distincts A, B et leurs images A', B' (avec AB = A'B')

10. Applications pratiques

Mécanique : - Rotations d'engrenages - Mouvements circulaires

Architecture : - Rosaces - Motifs circulaires

Art : - Frises circulaires - Mandalas

Navigation : - Changement de cap

11. Rotation et polygones réguliers

Construction : Un polygone régulier à n côtés peut se construire par rotations successives de 360°/n.

Exemple : Hexagone régulier : rotations de 60°

12. Utilisation en démonstration

Pour démontrer une égalité de longueurs : Montrer que les segments sont images l'un de l'autre par une rotation.

Pour démontrer un angle : Utiliser la conservation des angles par rotation.

Pour démontrer un triangle isométrique : Montrer qu'un triangle est l'image de l'autre par une rotation.

13. Coordonnées d'une rotation

Rotation de centre O(0,0) et d'angle α : M(x,y) → M'(x',y') avec : x' = x·cosα - y·sinα y' = x·sinα + y·cosα

Centre quelconque O(a,b) : Translater pour ramener O à l'origine, tourner, retranslater.

14. Exemples concrets en Côte d'Ivoire

Artisanat : - Motifs circulaires sur les tissus - Rosaces en vannerie - Dessins sur les calebasses

Architecture traditionnelle : - Disposition circulaire des cases - Motifs des toits coniques

Nature : - Disposition des pétales de fleurs - Spirales des coquillages

15. Rotation d'un vecteur

Formule : Si 𝑢̂ fait un angle θ avec l'axe des x, alors r(α)(𝑢̂) fait un angle θ+α.

16. Exercices types

Type 1 : Construire l'image d'une figure par r(O, 60°) Type 2 : Trouver centre et angle d'une rotation Type 3 : Construire une figure invariante par rotation

17. Rotation et symétrie

Décomposition : Une rotation de centre O et d'angle α peut se décomposer en deux symétries axiales d'axes passant par O et faisant un angle α/2.

18. Centre d'une rotation

Construction : Étant donné A→A' et B→B' (avec AB = A'B'), le centre O est l'intersection des médiatrices de [AA'] et [BB'].

Justification : O équidistant de A et A', et de B et B'.

19. Rotations successives

Frises circulaires : Motif répété par rotations de 360°/n

Rosaces : Combinaison de rotations et symétries

20. Importance pédagogique

Les rotations permettent : - De comprendre les isométries - De travailler avec les angles orientés - De développer la vision dans l'espace - De créer des motifs artistiques

Elles complètent l'étude des transformations du plan.