Produit scalaire

Le cours

Produit scalaire

1. Définition géométrique

Pour deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)\) où θ est l'angle (\(\vec{u},\vec{v}\))

Cas particuliers : - Si \(\vec{u} ⊥ \vec{v}\) : θ=90° ⇒ cosθ=0 ⇒ \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) - Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires de même sens : θ=0° ⇒ cosθ=1 ⇒ \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||\) - Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires de sens opposés : θ=180° ⇒ cosθ=-1 ⇒ \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||\)

2. Interprétation physique : Travail d'une force

Travail : W = \(\vec{F} \cdot \vec{AB}\) = ||\(\vec{F}\)|| × AB × cosθ

Situation d'apprentissage : Deux dockers tirent avec force \(\vec{F}\) de même norme. Déplacement \(\vec{d}\) horizontal. - Docker 1 : angle α₁ avec l'horizontal - Docker 2 : angle α₂ avec l'horizontal

W₁ = F × d × cosα₁ W₂ = F × d × cosα₂

Si |α₁| > |α₂| alors |cosα₁| < |cosα₂| donc |W₁| < |W₂| Le docker avec le plus grand angle effectue moins de travail utile.

3. Définition analytique

Dans une base orthonormée : Si \(\vec{u}(x,y)\) et \(\vec{v}(x',y')\) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'\)

Démonstration : Utilise la formule avec cosθ et la relation d'Al-Kashi.

4. Propriétés

Symétrie : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\) Bilinéarité : - \(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\) - \((k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})\)

Carré scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2\) Noté \(\vec{u}^2\) (attention : pas \(\vec{u}^2\) au sens du carré algébrique)

5. Orthogonalité

Caractérisation : \(\vec{u} ⊥ \vec{v} ⇔ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)

Application : - Droites perpendiculaires - Médiatrice - Hauteur d'un triangle

6. Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus)

Dans un triangle ABC : BC² = AB² + AC² - 2×AB×AC×cosÂ

Démonstration : Avec \(\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}\) BC² = \(\vec{BC}^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2\) = AC² + AB² - 2\(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) = AC² + AB² - 2×AB×AC×cosÂ

Cas particuliers : - Si Â=90° : BC² = AB² + AC² (Pythagore) - Si Â=0° : BC = |AB - AC| (points alignés) - Si Â=180° : BC = AB + AC (points alignés dans l'ordre)

7. Relations métriques dans le triangle rectangle

Triangle ABC rectangle en A : 1. AB² + AC² = BC² (Pythagore) 2. AB² = BH × BC où H pied de la hauteur 3. AH² = BH × CH 4. AB × AC = BC × AH

8. Équation de cercle

Cercle de diamètre [AB] : M ∈ cercle de diamètre [AB] ⇔ \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\) ⇔ (MA) ⊥ (MB)

Équation cartésienne : Si A(xA,yA), B(xB,yB), M(x,y) : (x-xA)(x-xB) + (y-yA)(y-yB) = 0

9. Projection orthogonale

Projection de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\) : \(\vec{u}_{\vec{v}} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{v}||^2} \vec{v}\)

Longueur de la projection : \(||\vec{u}_{\vec{v}}|| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{||\vec{v}||}\)

10. Angle entre deux vecteurs

Formule : cosθ = \(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||}\)

Dans une base orthonormée : cosθ = \(\frac{xx' + yy'}{\sqrt{x^2+y^2} \times \sqrt{x'^2+y'^2}}\)

11. Applications pratiques

a) Architecture : Vérification d'angles droits dans les constructions b) Navigation : Calcul de trajectoires c) Physique : Travail, puissance, énergie d) Informatique : Graphisme 3D, jeux vidéo e) Géographie : Calculs de distances avec coordonnées GPS

12. Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\) : |\(\vec{u} \cdot \vec{v}\)| ≤ ||\(\vec{u}\)|| × ||\(\vec{v}\)||

Égalité ssi \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires.

13. Coordonnées du projeté orthogonal

Problème : Trouver les coordonnées de H, projeté de M sur la droite (AB).

Solution : H ∈ (AB) donc ∃t∈ℝ tel que \(\vec{AH} = t\vec{AB}\) \(\vec{MH} ⊥ \vec{AB}\) donc \(\vec{MH} \cdot \vec{AB} = 0\) Soit (\(\vec{AH} - \vec{AM}\))·\(\vec{AB} = 0\) (t\(\vec{AB} - \vec{AM}\))·\(\vec{AB} = 0\) t\(\vec{AB}^2 - \vec{AM}·\vec{AB} = 0\) t = \(\frac{\vec{AM}·\vec{AB}}{\vec{AB}^2}\)

14. Distance point-droite

Distance de M à la droite (AB) : d(M,(AB)) = \(\frac{|\det(\vec{AB},\vec{AM})|}{||\vec{AB}||}\)

15. Théorème de la médiane

Dans un triangle ABC, si A' milieu de [BC] : AB² + AC² = 2AA'² + \(\frac{1}{2}\)BC²

Démonstration : \(\vec{AB} = \vec{AA'} + \vec{A'B}\) \(\vec{AC} = \vec{AA'} + \vec{A'C} = \vec{AA'} - \vec{A'B}\) AB² + AC² = (\(\vec{AA'} + \vec{A'B})^2 + (\vec{AA'} - \vec{A'B})^2\) = 2AA'² + 2A'B² = 2AA'² + \(\frac{1}{2}\)BC² car A'B = BC/2

16. Identité du parallélogramme

Pour tout parallélogramme ABCD : AC² + BD² = 2(AB² + AD²)

17. Applications en contexte ivoirien

Agriculture : - Calcul de surfaces de parcelles triangulaires - Optimisation des chemins d'accès

Construction : - Vérification d'équerrage des bâtiments - Calcul de pentes de toits

Transport : - Calcul de distances à vol d'oiseau - Optimisation des trajets

Sport : - Analyse des trajectoires de ballons - Calcul des angles de tir

18. Exemples numériques

Exemple 1 : \(\vec{u}(3,4)\), \(\vec{v}(-2,1)\) \(\vec{u}·\vec{v} = 3×(-2) + 4×1 = -6+4 = -2\) ||\(\vec{u}\)|| = √(9+16)=5, ||\(\vec{v}\)|| = √(4+1)=√5 cosθ = -2/(5√5) ≈ -0.179 θ ≈ 100.3° (angle obtus)

Exemple 2 : Triangle ABC avec AB=5, AC=6, Â=60° BC² = 5²+6²-2×5×6×cos60° = 25+36-60×0.5 = 61-30=31 BC = √31 ≈ 5.57

19. Méthodes de calcul

Selon les données, on choisit la méthode la plus adaptée : 1. Formule avec cosθ : si on connaît normes et angle 2. Formule analytique : si on a les coordonnées 3. Projection : si on peut projeter facilement 4. Relation de Chasles : pour décomposer

20. Importance en mathématiques

Le produit scalaire est fondamental pour : - La géométrie euclidienne - L'algèbre linéaire - L'analyse (espaces de Hilbert) - La physique mathématique

Il permet de mesurer des angles, des projections, et d'établir des relations métriques.