Polynômes et fractions rationnelles

Le cours

Polynômes et fractions rationnelles

1. Définition d'un polynôme

Un polynôme à coefficients réels est une expression de la forme : P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Où a₀, a₁, ..., aₙ ∈ ℝ et n ∈ ℕ

Exemple ivoirien : Modélisation du coût de production de cacao : C(x) = 0.5x² + 100x + 5000 où x est la quantité en kg

2. Degré et coefficients

• Degré : Plus grand exposant non nul (noté deg(P))
• Coefficient dominant : Coefficient du terme de plus haut degré
• Terme constant : a₀ (valeur en x=0)

3. Opérations sur les polynômes

Somme : On additionne les coefficients de même degré Produit : On utilise la distributivité

Exemple : (2x+3)(x-1) = 2x² - 2x + 3x - 3 = 2x² + x - 3

4. Forme canonique d'un polynôme du second degré

Pour P(x) = ax² + bx + c (a≠0) : P(x) = a[(x + b/(2a))² - (b²-4ac)/(4a²)]

Application : Optimisation du bénéfice d'une coopérative agricole B(x) = -0.1x² + 50x - 1000 (bénéfice en fonction des ventes x)

5. Factorisation

Méthodes : 1. Par identités remarquables : a² - b² = (a-b)(a+b) a² + 2ab + b² = (a+b)² a² - 2ab + b² = (a-b)²

2. Par x-α : Si P(α)=0, alors (x-α) divise P(x) Utilisation de la division euclidienne

Exemple concret : Un éleveur de bétail modélise l'évolution de son troupeau par P(x)=x²-5x+6. Trouver quand le troupeau sera stable (P(x)=0). Factorisation : x²-5x+6 = (x-2)(x-3) Solutions : x=2 ou x=3 années

6. Étude du signe d'un polynôme du second degré

Pour P(x) = ax² + bx + c (a≠0) : 1. Calculer Δ = b² - 4ac 2. Si Δ > 0 : Deux racines x₁ et x₂ Signe de a à l'extérieur des racines, opposé entre les racines 3. Si Δ = 0 : Une racine double x₀ Signe de a partout sauf nul en x₀ 4. Si Δ < 0 : Pas de racine réelle Signe de a partout

7. Fractions rationnelles

Définition : Quotient de deux polynômes R(x) = P(x)/Q(x) avec Q(x)≠0

Simplification : - Factoriser numérateur et dénominateur - Simplifier les facteurs communs

Exemple économique : Taux de croissance du PIB modélisé par R(x) = (x²-4)/(x-2) Simplification : (x-2)(x+2)/(x-2) = x+2 pour x≠2

8. Décomposition en éléments simples

Pour des fractions rationnelles simples : R(x) = polynôme + A/(x-α) + B/(x-β) + ...

9. Applications en contexte ivoirien

• Agriculture : Modélisation des rendements
• Économie : Fonctions de coût et de revenu
• Urbanisme : Calcul de surfaces optimales
• Environnement : Modélisation de la pollution

10. Cas particulier : Polynômes du troisième degré

Lorsqu'une racine est connue, on effectue la division euclidienne par (x-α)

Exemple : Un projet de construction à Abidjan a un coût modélisé par C(x)=x³-6x²+11x-6 Si pour x=1, C(1)=0, alors (x-1) est facteur. Division : (x³-6x²+11x-6) ÷ (x-1) = x²-5x+6 Donc C(x) = (x-1)(x-2)(x-3)