Inéquations dans ℝ × ℝ

Le cours

Inéquations dans ℝ × ℝ

1. Rappel : Le plan cartésien ℝ×ℝ

ℝ×ℝ = {(x,y) | x∈ℝ, y∈ℝ} représente le plan avec deux axes orthonormés.

Application ivoirienne : - x = nombre de sacs de riz - y = nombre de sacs de maïs - Chaque point (x,y) représente une combinaison possible

2. Inéquation du premier degré à deux variables

Forme générale : ax + by + c ≤ 0 (ou ≥, <, >)

Exemple : 2x + 3y ≤ 300 (budget en milliers de FCFA) Où x=romans, y=livres divers

3. Représentation graphique

Méthode : 1. Tracer la droite frontière : ax + by + c = 0 2. Choisir un point test (souvent (0,0) si pas sur la droite) 3. Vérifier si le point test vérifie l'inégalité 4. Colorier le demi-plan correspondant

Règle : - Si inégalité large (≤ ou ≥) : droite incluse (trait plein) - Si inégalité stricte (< ou >) : droite exclue (trait pointillé)

4. Système d'inéquations

Définition : Ensemble de plusieurs inéquations à satisfaire simultanément.

Représentation : Intersection des demi-plans correspondants.

Exemple agricole : Un agriculteur de Korhogo cultive riz (x) et maïs (y) avec contraintes : 1. Surface : 2x + y ≤ 100 (hectares) 2. Main d'œuvre : x + 2y ≤ 80 (personnes) 3. Semences : x ≥ 10, y ≥ 20 (minimum) 4. Budget : 50x + 30y ≤ 3000 (milliers FCFA)

5. Programmation linéaire

Définition : Technique d'optimisation sous contraintes linéaires.

Étapes : 1. Définir les variables de décision 2. Écrire la fonction objectif à optimiser (max ou min) 3. Écrire les contraintes sous forme d'inéquations 4. Représenter graphiquement le polygone des contraintes 5. Trouver les sommets du polygone 6. Évaluer la fonction objectif en chaque sommet 7. Choisir le sommet optimal

6. Polygone des contraintes

Définition : Intersection de tous les demi-plans définis par les contraintes.

Propriétés : - Convexe (tout segment joignant deux points du polygone est dedans) - Les solutions optimales se trouvent aux sommets (théorème fondamental)

7. Exemple complet : Projet agricole

Problème : Un coopérative de Bouaké veut maximiser son revenu R = 100x + 150y où : x = hectares de cacao y = hectares de café

Contraintes : 1. Terrain : x + y ≤ 50 2. Eau : 2x + 3y ≤ 120 3. Engrais : x ≤ 40 4. Main d'œuvre : y ≤ 30 5. Positivité : x ≥ 0, y ≥ 0

Résolution graphique : 1. Tracer les droites frontières 2. Déterminer le polygone (hexagone ici) 3. Calculer les coordonnées des sommets 4. Évaluer R en chaque sommet 5. Choisir le maximum

8. Cas particuliers

Solution infinie : Si la fonction objectif est parallèle à une contrainte Pas de solution : Si les contraintes sont incompatibles Solution unique : Un seul sommet optimal

9. Applications en Côte d'Ivoire

Agriculture : - Optimisation des cultures (cacao, café, coton) - Gestion des ressources (eau, engrais, main d'œuvre)

Industrie : - Optimisation de la production - Gestion des stocks - Planification des transports

Commerce : - Optimisation du mix produits - Gestion des approvisionnements - Maximisation des profits

Éducation : - Allocation des ressources scolaires - Planification des emplois du temps - Optimisation des budgets

10. Méthode algébrique (complément)

Pour les systèmes 2×2, on peut résoudre algébriquement : 1. Isoler une variable dans une inéquation 2. Substituer dans les autres 3. Résoudre les inéquations à une variable 4. Déduire l'autre variable

Exemple simple : { x + y ≤ 10 { 2x + y ≤ 15 { x ≥ 0, y ≥ 0

De (1) : y ≤ 10 - x De (2) : y ≤ 15 - 2x Donc y ≤ min(10-x, 15-2x)

11. Interprétation économique

Les points du polygone représentent toutes les combinaisons possibles respectant les contraintes. La solution optimale donne la combinaison maximisant (ou minimisant) l'objectif.

Exemple budget national : Allocation des fonds entre santé (x) et éducation (y) sous contraintes budgétaires.