Homothéties

Le cours

Homothéties

1. Définition

Homothétie de centre O et de rapport k (k∈ℝ*) : Transformation qui à tout point M associe M' tel que : 1. O, M, M' alignés 2. 𝑂𝑀′̂ = k × 𝑂𝑀̂

Notation : h(O, k)

Cas particuliers : - k = 1 : identité - k = -1 : symétrie centrale de centre O - k > 0 : homothétie directe (O, M, M' même sens) - k < 0 : homothétie inverse (O entre M et M')

2. Points invariants

Centre O : Le seul point invariant (si k ≠ 1) h(O, k)(O) = O

Droites invariantes : Toutes les droites passant par O

3. Propriété fondamentale

Conservation du barycentre : Si G est barycentre de (A, α), (B, β), alors h(O,k)(G) est barycentre de (h(O,k)(A), α), (h(O,k)(B), β).

Conséquences : - Image d'une droite est une droite parallèle - Image d'un segment est un segment parallèle - Milieu conservé

4. Effet sur les longueurs

Théorème : Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k|.

Si M' = h(O,k)(M) et N' = h(O,k)(N), alors : M'N' = |k| × MN

Conséquence : - Aire multipliée par k² - Volume multiplié par |k|³

5. Effet sur les angles

Conservation : - Des angles (orientés) - Du parallélisme - De l'orthogonalité - De l'alignement

6. Caractérisations d'une homothétie

Une homothétie est caractérisée par : 1. Son centre O, un point A et son image A' 2. Son rapport k, un point A et son image A' 3. Deux points distincts A, B et leurs images A', B' (avec A'B' // AB)

7. Construction de l'image d'un point

Méthode 1 (avec règle) : 1. Tracer la droite (OM) 2. Porter OM' = |k|×OM - Même sens si k>0 - Sens opposé si k<0

Méthode 2 (avec compas et règle) : Utiliser le théorème de Thalès

8. Image de figures simples

Droite : Image est une droite parallèle Segment : Segment parallèle, longueur multipliée par |k| Cercle : Cercle de rayon |k|×R, centre image du centre Polygone : Polygone semblable

9. Rapport d'homothétie

Calcul : k = OA'/OA = OB'/OB = A'B'/AB = ...

Signe : - k>0 : M et M' même côté par rapport à O - k<0 : O entre M et M'

10. Homothéties et triangles semblables

Théorème : Deux triangles sont semblables si et seulement si il existe une homothétie (ou une similitude) envoyant l'un sur l'autre.

Cas de similitude des triangles : 1. Angle-Angle 2. Côté-Angle-Côté 3. Côté-Côté-Côté (avec même rapports)

11. Applications pratiques

Cartographie : - Réduction d'échelle - Agrandissement de plans

Architecture : - Maquettes (réduction) - Agrandissement de plans

Photographie : - Agrandissement/réduction d'images

Biologie : - Cellules semblables - Organes proportionnels

12. Homothéties composées

Composition : h(O1, k1) ∘ h(O2, k2) est : - Une homothétie si k1×k2 ≠ 1 - Une translation si k1×k2 = 1

Centre de la composée : Aligné avec O1 et O2

13. Utilisation en démonstration

Pour démontrer que deux droites sont parallèles : Montrer qu'elles sont images l'une de l'autre par une homothétie.

Pour démontrer un alignement : Montrer que les points sont sur une droite passant par le centre.

Pour démontrer une égalité de rapports : Utiliser la propriété k = OA'/OA = OB'/OB

14. Exemples concrets en Côte d'Ivoire

Architecture traditionnelle : - Cases de taille différente mais mêmes proportions - Motifs décoratifs à différentes échelles

Agriculture : - Plans de plantation à différentes échelles - Parcelles semblables

Artisanat : - Reproduction de motifs à différentes tailles - Sculptures semblables

15. Construction géométrique

Construction d'un polygone semblable : 1. Choisir un centre O 2. Choisir un rapport k 3. Construire les images des sommets 4. Relier

Construction d'une figure agrandie : Même méthode avec |k| > 1

16. Exercices types

Type 1 : Construire l'image d'un triangle ABC par h(O, 2) Type 2 : Trouver le centre et le rapport d'homothétie envoyant ABC sur A'B'C' Type 3 : Construire un triangle semblable à ABC et passant par un point donné

17. Homothétie et théorème de Thalès

Lien : Le théorème de Thalès peut se démontrer avec des homothéties.

Configuration de Thalès : Si (BC) // (B'C'), alors il existe une homothétie envoyant B sur B' et C sur C'.

18. Homothétie négative

k < 0 : - Centre entre point et image - Figures inversées - Exemple : k = -1 donne symétrie centrale

19. Coordonnées dans une homothétie

Si O(x₀, y₀) et M(x, y), alors M'(x', y') avec : x' = x₀ + k(x - x₀) y' = y₀ + k(y - y₀)

Cas particulier O(0,0) : M'(kx, ky)

20. Importance pédagogique

Les homothéties permettent : - De comprendre la notion de similitude - De travailler avec les proportions - De faire le lien entre géométrie et algèbre - De modéliser des agrandissements/réductions

Elles préparent aux similitudes directes (terminale).