Généralités sur les fonctions

Le cours

Généralités sur les fonctions

1. Définition d'une fonction

Une fonction f d'un ensemble E vers un ensemble F est une relation qui à chaque élément x de E associe au plus un élément y de F, noté f(x).

Notation : f : E → F x ↦ f(x)

Exemple ivoirien : - f : nombre d'hectares → production de cacao (kg) - g : température → consommation d'eau (L) - h : investissement → bénéfice (FCFA)

2. Ensemble de définition

Définition : L'ensemble des x pour lesquels f(x) existe, noté Df.

Détermination : 1. Pas de division par zéro 2. Pas de racine carrée d'un nombre négatif 3. Pas de logarithme d'un nombre ≤ 0

Exemple : f(x) = √(x-4) + 1/(x+2) Df = {x ∈ ℝ | x-4 ≥ 0 et x+2 ≠ 0} = {x ∈ ℝ | x ≥ 4 et x ≠ -2} = [4, +∞[

3. Image et antécédent

Image : f(x) est l'image de x par f Antécédent : Si f(x)=y, alors x est un antécédent de y

Important : - Un x a une seule image - Un y peut avoir plusieurs antécédents

Exemple concret : Fonction prix d'un produit en fonction de la quantité f(10) = 5000 → L'image de 10 est 5000 Si f(x) = 5000, alors x est un antécédent de 5000

4. Représentation graphique

Définition : La courbe représentative de f est l'ensemble des points M(x, f(x)).

Test de la droite verticale : Une courbe est représentation d'une fonction si toute droite verticale la coupe au plus une fois.

Exemple ivoirien : Courbe de la production agricole annuelle - Axe horizontal : années - Axe vertical : production en tonnes

5. Image directe et image réciproque

Image directe d'un intervalle I : f(I) = {f(x) | x ∈ I} Image réciproque d'un intervalle J : f⁻¹(J) = {x | f(x) ∈ J}

Exemple économique : f(x) = 100x (revenu en FCFA pour x heures travaillées) Si I = [8, 10] (heures), alors f(I) = [800, 1000] (revenu) Si J = [500, 700] (revenu), alors f⁻¹(J) = [5, 7] (heures)

6. Sens de variation

Fonction croissante : Si x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂) Fonction décroissante : Si x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂) Fonction constante : f(x₁) = f(x₂) pour tous x₁, x₂

Stricte ou large : - Croissante stricte : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) - Décroissante stricte : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

7. Maximum et minimum

Maximum global sur I : M tel que f(x) ≤ M pour tout x ∈ I Minimum global sur I : m tel que f(x) ≥ m pour tout x ∈ I Extremum : maximum ou minimum

Attention : Un maximum/minimum peut ne pas être atteint.

8. Tableau de variations

Représentation synthétique des variations d'une fonction.

Construction : 1. Déterminer Df 2. Étudier le signe de f'(x) si dérivable 3. Placer les extremums locaux 4. Indiquer les limites aux bornes

9. Fonctions égales

Deux fonctions f et g sont égales sur I si : 1. Elles ont le même ensemble de définition sur I 2. f(x) = g(x) pour tout x ∈ I

Exemple : f(x) = (x²-4)/(x-2) et g(x) = x+2 Elles sont égales sur ℝ{2} mais pas sur ℝ entier.

10. Applications pratiques en Côte d'Ivoire

Agriculture : - Rendement en fonction de la pluviométrie - Coût de production en fonction de la superficie

Économie : - Prix en fonction de la demande - Salaire en fonction de l'expérience

Démographie : - Population en fonction du temps - Taux de scolarisation en fonction de l'âge

Santé : - Nombre de cas en fonction du temps (épidémies) - Coût des soins en fonction de l'âge

11. Le tour mathématique expliqué

Soit n le dernier chiffre du téléphone (0≤n≤9) Opérations : 1. n → 2n 2. → 2n+9 3. → 50(2n+9) = 100n + 450 4. → 100n + 450 + 1566 = 100n + 2016 5. → 100n + 2016 - année_naissance

Si année_naissance = 2000 et n=5 : 100×5 + 2016 - 2000 = 500 + 16 = 516 Les deux derniers chiffres 16 représentent bien l'âge (en 2016).

12. Lecture graphique

Image d'un nombre : Projeter verticalement sur la courbe puis horizontalement Antécédents d'un nombre : Projeter horizontalement sur la courbe puis verticalement

Exemple : Courbe de température à Abidjan - Image de 12h : température à midi - Antécédents de 30°C : heures où il fait 30°C

13. Propriétés importantes

1. Parité : - f paire : f(-x) = f(x) (symétrie par rapport à Oy) - f impaire : f(-x) = -f(x) (symétrie par rapport à O)

2. Périodicité : f(x+T) = f(x) pour un T>0

3. Bijectivité : Chaque y a exactement un antécédent

14. Exemples de fonctions courantes

1. Affine : f(x) = ax + b
2. Carré : f(x) = x²
3. Cube : f(x) = x³
4. Inverse : f(x) = 1/x
5. Racine carrée : f(x) = √x
6. Valeur absolue : f(x) = |x|
7. Partie entière : f(x) = E(x)