Ensemble des nombres réels

Le cours

L'ensemble des nombres réels ℝ

L'ensemble des nombres réels ℝ regroupe tous les nombres rationnels ℚ et irrationnels. En Côte d'Ivoire, ces nombres sont omniprésents :

1. Nombres rationnels et irrationnels

• Nombres rationnels : Peuvent s'écrire comme quotient a/b (b≠0) Exemple : 3/4 (taux de réussite), 0.75 (pourcentage), 2.5 (prix du kg de riz)
• Nombres irrationnels : Décimales infinies non périodiques Exemple : π (calcul de périmètre), √2 (diagonale d'un carré de 1m), √3

2. Structure ordonnée de ℝ

ℝ est totalement ordonné par la relation ≤. Pour tout a, b, c ∈ ℝ : - Si a ≤ b alors a + c ≤ b + c - Si a ≤ b et c ≥ 0 alors ac ≤ bc - Si a ≤ b et c ≤ 0 alors ac ≥ bc

3. Majorants et minorants

Dans le contexte ivoirien, imaginons les salaires journaliers des ouvriers agricoles : {5000, 5500, 6000, 6500} FCFA - Majorant : Tout nombre ≥ à tous les éléments (ex: 7000, 10000) - Minorant : Tout nombre ≤ à tous les éléments (ex: 4000, 0) - Maximum : Le plus grand élément (6500) - Minimum : Le plus petit élément (5000)

4. Valeur absolue et distance

La valeur absolue |x| représente la distance de x à 0 sur la droite numérique. Propriétés importantes : 1. |x| ≥ 0 et |x| = 0 ⇔ x = 0 2. |x × y| = |x| × |y| 3. |x + y| ≤ |x| + |y| (inégalité triangulaire) 4. |x - a| représente la distance entre x et a

5. Résolution d'équations avec valeurs absolues

Pour résoudre |x - a| = r (r ≥ 0) : - Graphiquement : Points à distance r de a - Algébriquement : x - a = r OU x - a = -r

Exemple : Dans un champ de cacao, si la distance optimale entre plants est de 3m, et qu'un plant est à la position 10m, où peut être le plant suivant ? |x - 10| = 3 ⇒ x = 13m ou x = 7m

6. Raisonnement par l'absurde

Technique importante pour démontrer qu'un nombre est irrationnel : 1. On suppose que √2 est rationnel : √2 = a/b (fraction irréductible) 2. On élève au carré : 2 = a²/b² ⇒ a² = 2b² 3. Donc a² est pair ⇒ a est pair ⇒ a = 2k 4. On remplace : (2k)² = 2b² ⇒ 4k² = 2b² ⇒ 2k² = b² 5. Donc b² est pair ⇒ b est pair 6. Contradiction : a et b pairs alors que a/b est irréductible 7. Conclusion : √2 est irrationnel

7. Applications pratiques en Côte d'Ivoire

• Calcul de marges d'erreur dans l'agriculture
• Optimisation des distances dans l'urbanisme
• Gestion des intervalles de tolérance dans l'industrie
• Modélisation de phénomènes économiques avec plages de valeurs acceptables