Étude de fonctions élémentaires

Le cours

Étude de fonctions élémentaires

1. La fonction carré : f(x) = x²

Ensemble de définition : Df = ℝ

Variations : - Strictement décroissante sur ]-∞, 0] - Strictement croissante sur [0, +∞[

Propriétés : - Minimum absolu en 0 : f(0) = 0 - Fonction paire : f(-x) = f(x) (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) - Courbe : Parabole tournée vers le haut

Application ivoirienne : Modélisation de la surface d'un carré de côté x (utile pour calculer les surfaces de champs)

2. La fonction cube : f(x) = x³

Ensemble de définition : Df = ℝ

Variations : - Strictement croissante sur ℝ tout entier

Propriétés : - Fonction impaire : f(-x) = -f(x) (symétrie par rapport à l'origine) - Point d'inflexion en (0,0) - Croissance rapide pour |x| > 1

Application ivoirienne : Calcul du volume d'un cube (pour le stockage de céréales)

3. La fonction inverse : f(x) = 1/x

Ensemble de définition : Df = ℝ* = ℝ \ {0}

Variations : - Strictement décroissante sur ]-∞, 0[ - Strictement décroissante sur ]0, +∞[

Propriétés : - Fonction impaire : f(-x) = -f(x) - Deux branches hyperboliques - Asymptotes : x = 0 (verticale) et y = 0 (horizontale)

Application ivoirienne : Loi de proportionnalité inverse (temps de travail en fonction du nombre d'ouvriers)

4. La fonction racine carrée : f(x) = √x

Ensemble de définition : Df = [0, +∞[

Variations : - Strictement croissante sur [0, +∞[

Propriétés : - Courbe : Demi-parabole tournée vers la droite - f(0) = 0, f(1) = 1, f(4) = 2 - Croissance décélérée (plus lente que linéaire)

Application ivoirienne : Calcul du côté d'un carré connaissant son aire

5. La fonction valeur absolue : f(x) = |x|

Ensemble de définition : Df = ℝ

Variations : - Strictement décroissante sur ]-∞, 0] - Strictement croissante sur [0, +∞[

Propriétés : - Minimum absolu en 0 : f(0) = 0 - Fonction paire : f(-x) = f(x) - Courbe en forme de V - Points anguleux en (0,0)

Généralisation : f(x) = |ax + b| où a ∈ ℝ*, b ∈ ℝ - La courbe est toujours en V - Sommet lorsque ax + b = 0

Application ivoirienne : Calcul de distances ou d'écarts (écart de température, écart de prix)

6. La fonction partie entière : f(x) = E(x)

Définition : E(x) est le plus grand entier inférieur ou égal à x

Ensemble de définition : Df = ℝ

Exemples : - E(2.7) = 2 - E(3) = 3 - E(-1.5) = -2 (car -2 ≤ -1.5 < -1)

Propriétés : - Fonction en escalier - Discontinue en chaque entier - Constante sur chaque intervalle [n, n+1[

Application ivoirienne : Arrondi inférieur pour le comptage (nombre de sacs de riz complets)

7. Fonctions affines par intervalles

Définition : Fonction définie par différentes expressions affines sur différents intervalles

Exemple : Tarif progressif de l'électricité en Côte d'Ivoire f(x) = - 50x si 0 ≤ x ≤ 100 (première tranche) - 5000 + 80(x-100) si 100 < x ≤ 200 (deuxième tranche) - 13000 + 120(x-200) si x > 200 (troisième tranche)

8. Fonctions du type f(x) = ax² (a ∈ ℝ*)

Propriétés : - Si a > 0 : Parabole tournée vers le haut, minimum en 0 - Si a < 0 : Parabole tournée vers le bas, maximum en 0 - Plus |a| est grand, plus la parabole est "étroite"

Application : Dans h(t) = -40t² (situation d'apprentissage) : - a = -40 < 0 : parabole tournée vers le bas - Maximum en t = 0 : h(0) = 0 - Le projectile retombe quand h(t) = 0 ⇒ t = 0 (départ) ou t tel que -40t² = 0 - En réalité, avec une vitesse initiale, la fonction serait h(t) = -40t² + v₀t

9. Fonctions du type f(x) = a/x (a ∈ ℝ*)

Propriétés : - Si a > 0 : Deux branches dans les quadrants I et III - Si a < 0 : Deux branches dans les quadrants II et IV - Mêmes asymptotes que 1/x

Application ivoirienne : Loi des gaz parfaits en physique (P = nRT/V)

10. Tableau récapitulatif des variations

11. Méthodes d'étude complète d'une fonction

Étapes : 1. Ensemble de définition : Où la fonction existe-t-elle ? 2. Parité/Imparité : Simplifie l'étude si présente 3. Dérivée (en première) ou étude directe des variations 4. Limites aux bornes : Comportement aux extrémités 5. Tableau de variations : Synthèse 6. Représentation graphique : Tracer la courbe

12. Applications concrètes en Côte d'Ivoire

Agriculture : - Rendement en fonction de la surface : souvent quadratique - Coût en fonction de la quantité : peut être inverse

Économie : - Courbe de demande : fonction décroissante - Courbe d'offre : fonction croissante

Physique : - Trajectoire des projectiles : fonction quadratique - Loi de gravitation : fonction inverse du carré

Géographie : - Relief : modélisable par des fonctions variées - Climat : variations périodiques

13. Construction graphique

Techniques : 1. Par points : Calculer plusieurs images et les placer 2. Par transformations : À partir d'une fonction de référence 3. Par propriétés : Utiliser symétries, asymptotes

Exemple : Pour f(x) = 2|x-1| + 3 : - Translation de |x| : 1 unité à droite, 3 unités vers le haut - Dilatation verticale : facteur 2

14. Problèmes de modélisation

Exemple : Un réservoir d'eau à Yamoussoukro se vide selon V(t) = 1000/(t+1). 1. Quel volume initial ? V(0) = 1000 L 2. Quand le volume est-il divisé par 2 ? 1000/(t+1) = 500 ⇒ t = 1 heure 3. Le réservoir se vide-t-il complètement ? Non, V(t) → 0 mais jamais 0

15. Interactions entre fonctions

Les fonctions élémentaires servent de briques pour construire des fonctions plus complexes : - Polynômes : somme de fonctions x ↦ axⁿ - Fractions rationnelles : quotient de polynômes - Fonctions composées : f(g(x))

Exemple : f(x) = √(x²+1) combine racine carrée et fonction carré