Systèmes linéaires dans ℝ × ℝ

Le cours

1. Inéquation du premier degré dans ℝ × ℝ

Une inéquation linéaire à deux inconnues $x$ et $y$ est de la forme : $$ax + by \\leq c \\quad (\\text{ou} \\geq, <, >)$$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels, avec $a$ et $b$ non tous deux nuls.

Exemple 1 : $2x + 3y \\leq 12$ (contrainte budgétaire pour l'achat de fournitures scolaires à Abidjan).

2. Représentation graphique d'une inéquation

1. On trace la droite frontière $ax + by = c$.
2. Si l'inéquation est stricte ($<$ ou $>$), la droite est en pointillés (non incluse).
3. Si l'inéquation est large ($\\leq$ ou $\\geq$), la droite est pleine (incluse).
4. On choisit un point test (souvent l'origine si elle n'est pas sur la droite) pour déterminer le demi-plan solution.

Exemple 2 : Représenter $x - 2y \\geq 4$.

3. Système de deux inéquations linéaires

L'ensemble des solutions est l'intersection des deux demi-plans solutions.

Exemple 3 : $$\\begin{cases} x + y \\leq 10 \\\\ 2x - y \\geq 2 \\end{cases}$$ (modélisation des contraintes de production de cacao et café dans une coopérative de Daloa).

4. Vérification qu'un couple est solution

Il suffit de remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du couple dans chaque inéquation.

Exemple 4 : Le couple $(3, 4)$ est-il solution de $\\begin{cases} 2x + y \\leq 10 \\\\ x - y \\geq -1 \\end{cases}$ ?

5. Modélisation d'une situation réelle

On identifie les inconnues, les contraintes (ressources, limites) et on les traduit en inéquations.

Exemple 5 : Un éleveur de bétail à Korhogo a 100 hectares pour cultiver du maïs ($x$ ha) et du mil ($y$ ha). Le maïs nécessite 10 unités d'eau/ha, le mil 5 unités d'eau/ha. Il dispose de 800 unités d'eau. Contraintes : $$\\begin{cases} x + y \\leq 100 \\\\ 10x + 5y \\leq 800 \\\\ x \\geq 0, y \\geq 0 \\end{cases}$$

6. Résolution graphique d'un système

On représente chaque contrainte, on détermine la zone d'intersection (polygone convexe). Les solutions sont tous les points de cette zone.

{
  "type": "points",
  "title": "Région solution d'un système d'inéquations",
  "xRange": [0, 12],
  "yRange": [0, 12],
  "inequalities": [
    { "expression": "x + y <= 10", "color": "#8884d8", "fill": true },
    { "expression": "2x - y >= 2", "color": "#82ca9d", "fill": true }
  ],
  "showGrid": true,
  "showAxes": true,
  "xLabel": "x",
  "yLabel": "y"
}

7. Application à la situation des livres

Soit $x$ le nombre de livres de mathématiques, $y$ le nombre de livres de français.

Contraintes : 1. Nombre total de livres : $x + y = 27$ 2. Budget total : $5200x + 6500y = 156000$

On a un système de deux équations (cas particulier d'inéquations avec égalité) : $$\\begin{cases} x + y = 27 \\\\ 5200x + 6500y = 156000 \\end{cases}$$

8. Résolution par substitution ou combinaison

De la première équation : $y = 27 - x$. Remplaçons dans la seconde : $5200x + 6500(27 - x) = 156000$ $5200x + 175500 - 6500x = 156000$ $-1300x = -19500$ $x = 15$ Puis $y = 27 - 15 = 12$.

Le proviseur a acheté 15 livres de maths et 12 livres de français.