Suites numériques

Le cours

1. Définition d'une suite numérique

Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction définie sur $\\mathbb{N}$ (ou une partie de $\\mathbb{N}$) à valeurs dans $\\mathbb{R}$. On note $u_n$ l'image de l'entier $n$ (appelé indice ou rang).

Exemple 1 : La suite des nombres pairs : $u_n = 2n$.

2. Modes de définition d'une suite

• Formule explicite : $u_n$ est donnée directement en fonction de $n$. Exemple : $u_n = 3n - 1$.

• Relation de récurrence : On donne $u_0$ (ou $u_1$) et une relation liant $u_{n+1}$ à $u_n$. Exemple : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n - 3$.

• Description : Par la liste de ses termes (série statistique, mesures).

3. Suite arithmétique

$(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (la raison) tel que : $$u_{n+1} = u_n + r \\quad \\text{pour tout } n$$

Formule explicite : $u_n = u_0 + n \\times r$

Somme des $n$ premiers termes : $$S_n = u_0 + u_1 + \\dots + u_{n-1} = \\frac{n \\times (u_0 + u_{n-1})}{2} = \\frac{n \\times [2u_0 + (n-1)r]}{2}$$

Exemple 2 : Placement à intérêts simples (non capitalisés) : chaque année on ajoute un montant fixe.

4. Suite géométrique

$(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q \\neq 0$ (la raison) tel que : $$u_{n+1} = u_n \\times q \\quad \\text{pour tout } n$$

Formule explicite : $u_n = u_0 \\times q^n$

Somme des $n$ premiers termes (si $q \\neq 1$) : $$S_n = u_0 + u_1 + \\dots + u_{n-1} = u_0 \\times \\frac{1 - q^n}{1 - q}$$

Exemple 3 : Placement à intérêts composés (capitalisation annuelle) : chaque année on multiplie par un coefficient fixe $(1 + \\frac{t}{100})$.

5. Représentation graphique

On peut représenter les points de coordonnées $(n, u_n)$ dans un repère. - Suite arithmétique → points alignés. - Suite géométrique à raison positive → points sur une courbe exponentielle.

{
  "type": "sequence",
  "title": "Suites arithmétique et géométrique",
  "xRange": [0, 10],
  "yRange": [0, 30],
  "sequences": [
    { "type": "arithmetic", "firstTerm": 2, "commonDifference": 2, "color": "#8884d8", "name": "u_n=2+2n" },
    { "type": "geometric", "firstTerm": 2, "commonRatio": 1.5, "color": "#82ca9d", "name": "v_n=2*(1.5)^n" }
  ],
  "showGrid": true,
  "showAxes": true,
  "xLabel": "n",
  "yLabel": "u_n"
}

6. Application à la situation du placement bancaire

Capital initial $C_0 = 500\,000$ FCFA. Taux annuel $t = 3\\% = 0.03$. Intérêts composés : chaque année, le capital est multiplié par $1 + t = 1.03$.

La suite $(C_n)$ du capital après $n$ années est géométrique de raison $q = 1.03$ et de premier terme $C_0 = 500\,000$. Formule explicite : $C_n = 500\,000 \\times (1.03)^n$.

L'élève avait 10 ans au placement, il a 18 ans aujourd'hui, donc durée : $n = 8$ ans. $$C_8 = 500\,000 \\times (1.03)^8$$ Calcul approximatif : $(1.03)^8 \\approx 1.26677$ (avec calculatrice). $C_8 \\approx 500\,000 \\times 1.26677 = 633\,385$ FCFA.

Le solde du compte est d'environ 633 400 FCFA.

7. Comparaison avec un placement à intérêts simples

Si le placement était à intérêts simples, on ajouterait chaque année $500\,000 \\times 0.03 = 15\,000$ FCFA. Suite arithmétique de raison $r = 15\,000$. $C_n = 500\,000 + n \\times 15\,000$. $C_8 = 500\,000 + 8 \\times 15\,000 = 500\,000 + 120\,000 = 620\,000$ FCFA.

Les intérêts composés rapportent plus (633 400 > 620 000).

8. Autre exemple ivoirien : Production agricole

Un agriculteur de Bouaké augmente sa production de maïs de 5% chaque année grâce à de nouvelles techniques. Sa production initiale est de 10 tonnes. La suite $(P_n)$ de la production (en tonnes) est géométrique de raison $1.05$ : $P_n = 10 \\times (1.05)^n$.

graph TD
    A[Production initiale: 10t] --> B[Année 1: ×1.05]
    B --> C[10.5t]
    C --> D[Année 2: ×1.05]
    D --> E[11.025t]
    E --> F[Année n: ×1.05]
    F --> G[10×1.05^n t]