Ecole Ivoire

Équations et inéquations dans IR

Première A2 · Mathématiques · Programme DPFC

Objectifs pédagogiques

  • Identifier et caractériser un polynôme du second degré
  • Calculer le discriminant et déterminer les zéros d'un polynôme du second degré
  • Factoriser un polynôme du second degré en utilisant le discriminant
  • Résoudre des équations et inéquations du second degré et des équations/inéquations rationnelles simples
  • Appliquer ces méthodes à des situations concrètes ivoiriennes

Situation d'apprentissage

Un élève en première décide de faire un jardin de tomates dans la grande cour familiale à Daloa. Compte tenu de l'espace disponible, il ne dispose que de 48 m². Son père lui offre 20 m de grillage pour réaliser la clôture. Le jardin est de forme rectangulaire. Une longueur du jardin ne sera pas grillagée (côté déjà protégé par un mur). L’élève ne sait pas comment déterminer les dimensions optimales du jardin pour maximiser la surface cultivable avec la longueur de grillage disponible. Il sollicite ses camarades pour l'aider en étudiant les équations et inéquations dans IR.

Le cours

1. Polynôme du second degré

Un polynôme du second degré est une expression de la forme : $$P(x) = ax^2 + bx + c$$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels avec $a \\neq 0$.

Exemple 1 : $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ (coopérative agricole de Yamoussoukro modélisant la production de maïs).

2. Discriminant

Le discriminant d'un polynôme $ax^2 + bx + c$ est : $$\\Delta = b^2 - 4ac$$

Valeur de $\\Delta$ Nature des solutions (racines)
$\\Delta > 0$ Deux solutions réelles distinctes
$\\Delta = 0$ Une solution réelle double
$\\Delta < 0$ Aucune solution réelle

3. Calcul des racines

Si $\\Delta \\geq 0$, les racines sont : $$x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} \\quad \\text{et} \\quad x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a}$$ Si $\\Delta = 0$, la racine double est : $x_0 = -\\frac{b}{2a}$.

Exemple 2 : Résoudre $2x^2 - 4x - 6 = 0$ (modélisation du coût de transport de cacao entre San-Pédro et Abidjan).

4. Factorisation

  • Si $\\Delta > 0$ : $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$
  • Si $\\Delta = 0$ : $P(x) = a(x - x_0)^2$
  • Si $\\Delta < 0$ : Pas de factorisation dans IR.

5. Signe d'un polynôme du second degré

Cas Signe de $a$ $\\Delta$ Signe de $P(x)$
$\\Delta < 0$ $a > 0$ – Toujours positif
$\\Delta < 0$ $a < 0$ – Toujours négatif
$\\Delta = 0$ $a > 0$ 0 Positif sauf en $x_0$ (nul)
$\\Delta = 0$ $a < 0$ 0 Négatif sauf en $x_0$ (nul)
$\\Delta > 0$ $a > 0$ + Positif à l'extérieur des racines, négatif entre
$\\Delta > 0$ $a < 0$ + Négatif à l'extérieur des racines, positif entre

6. Équations rationnelles de type $\\frac{ax+b}{cx+d} = 0$

Condition : $cx+d \\neq 0$. La solution est $ax+b = 0$.

Exemple 3 : $\\frac{3x-6}{x+2} = 0$ (partage des bénéfices d'une coopérative scolaire à Bouaké).

7. Inéquations rationnelles

On étudie le signe du numérateur et du dénominateur, puis on utilise un tableau de signes.

Exemple 4 : $\\frac{x-4}{x+1} \\geq 0$ (détermination d'un seuil de production de coton à Korhogo).

8. Application à la situation du jardin

Soit $x$ la largeur (en m) et $y$ la longueur (en m). Contraintes : - Périmètre grillagé : $2x + y = 20$ (car une longueur non grillagée) - Surface : $S = x \\cdot y \\leq 48$

On exprime $y = 20 - 2x$, puis $S(x) = x(20-2x) = -2x^2 + 20x$.

On résout $S(x) = 48$ pour trouver les dimensions limites : $$-2x^2 + 20x - 48 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x^2 - 10x + 24 = 0$$ $$\\Delta = 100 - 96 = 4, \\quad x_1 = 4, \\quad x_2 = 6$$

La surface est maximale pour $x = 5$ m (sommet de la parabole), donnant $y = 10$ m et $S_{max} = 50$ m² (dépassant 48 m²). L’élève doit donc choisir des dimensions respectant $S \\leq 48$, par exemple $x = 4$ m et $y = 12$ m.

Points clés à retenir

  • Le discriminant $\\Delta = b^2 - 4ac$ détermine le nombre et la nature des racines
  • Un polynôme du second degré se factorise selon le signe de $\\Delta$
  • Le signe d'un polynôme du second degré dépend du signe de $a$ et de $\\Delta$
  • Pour résoudre $\\frac{ax+b}{cx+d} = 0$, on impose $cx+d \\neq 0$ et $ax+b = 0$
  • Les inéquations rationnelles se résolvent par tableau de signes
  • Les équations et inéquations du second degré modélisent des problèmes d'optimisation (surface, coût, bénéfice)

Quiz d'auto-évaluation

  1. Quelle est l'expression du discriminant d'un polynôme $ax^2 + bx + c$ ?

    1. $b^2 - 4ac$
    2. $b^2 + 4ac$
    3. $-b^2 - 4ac$
    4. $\\sqrt{b^2 - 4ac}$
    Réponse

    $b^2 - 4ac$

  2. Si $\\Delta < 0$ et $a > 0$, quel est le signe de $P(x) = ax^2 + bx + c$ ?

    1. Toujours positif
    2. Toujours négatif
    3. Positif entre les racines
    4. Négatif entre les racines
    Réponse

    Toujours positif

  3. Pour résoudre $\\frac{2x-8}{x-3} = 0$, quelle condition doit-on vérifier ?

    1. $x \\neq 3$
    2. $x \\neq 4$
    3. $x \\neq 8$
    4. Aucune condition
    Réponse

    $x \\neq 3$

  4. Un jardin rectangulaire a un périmètre grillagé de 40 m (un côté non grillagé). Si la largeur est x, quelle expression donne la surface S(x) ?

    1. $S(x) = x(40 - 2x)$
    2. $S(x) = x(20 - x)$
    3. $S(x) = 2x(40 - x)$
    4. $S(x) = x(40 - x)$
    Réponse

    $S(x) = x(40 - 2x)$

Vidéos pour approfondir

LE COURS : Équations du second degré - Première
Equations dans R - Cours de maths
Tableau de SIGNE - 2nd Degré - Première

Ouvrir dans l'application (suivi de progression, quiz interactifs)