Statistique à une variable

Le cours

1. Organisation des données en classes

Pour analyser une série statistique continue, on regroupe les données en intervalles appelés classes.

Exemple : Temps de course regroupés en classes d'amplitude 5 min : - [35, 40[, [40, 45[, [45, 50[, [50, 55[, [55, 60[, [60, 65[, [65, 70[

Amplitude d'une classe : différence entre la borne supérieure et la borne inférieure.

2. Représentation graphique : l'histogramme

Dans un histogramme : - L'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif (ou fréquence) de la classe - La hauteur du rectangle = effectif (ou fréquence) / amplitude

{
  "type": "histogram",
  "title": "Temps de course - Histogramme",
  "data": [
    { "interval": [35, 40], "value": 1 },
    { "interval": [40, 45], "value": 3 },
    { "interval": [45, 50], "value": 4 },
    { "interval": [50, 55], "value": 5 },
    { "interval": [55, 60], "value": 3 },
    { "interval": [60, 65], "value": 3 },
    { "interval": [65, 70], "value": 1 }
  ],
  "xLabel": "Temps (min)",
  "yLabel": "Densité d'effectif",
  "showGrid": true,
  "showAxes": true
}

3. Caractéristiques de position

Moyenne

Pour une série regroupée en classes, on utilise les centres de classes $c_i$ : $$\\bar{x} = \\frac{\\sum n_i c_i}{N}$$ où $n_i$ = effectif de la classe i, $N$ = effectif total.

Médiane $Me$

Valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif : - 50% des valeurs sont inférieures ou égales à $Me$ - 50% des valeurs sont supérieures ou égales à $Me$

Méthode graphique : Abscisse du point d'ordonnée $N/2$ sur la courbe cumulative croissante.

Quartiles

• $Q_1$ (premier quartile) : 25% des valeurs lui sont inférieures ou égales
• $Q_3$ (troisième quartile) : 75% des valeurs lui sont inférieures ou égales

Mode et classe modale

• Classe modale : classe ayant l'effectif le plus élevé
• Mode : valeur représentative de la classe modale (souvent le centre)

4. Caractéristiques de dispersion

Variance $V$

Mesure la dispersion autour de la moyenne : $$V = \\frac{1}{N} \\sum n_i (c_i - \\bar{x})^2$$

Écart-type $\\sigma$

Racine carrée de la variance : $\\sigma = \\sqrt{V}$

Interprétation : Plus l'écart-type est grand, plus les données sont dispersées autour de la moyenne.

5. Tableau statistique complet

6. Calculs pour la situation

Moyenne : $\\bar{x} = \\frac{1046}{20} = 52.3$ min

Médiane : La 10ème valeur dans la série ordonnée (39, 41, 42, 43, 44, 46, 46, 47, 48, 49, 51, 51, 52, 53, 53, 59, 60, 61, 63, 66) est 49.5 (moyenne des 10ème et 11ème valeurs).

Quartiles : - $Q_1$ : valeur au rang $N/4 = 5$ → 44 min - $Q_3$ : valeur au rang $3N/4 = 15$ → 53 min

Écart interquartile : $Q_3 - Q_1 = 9$ min

7. Interprétation pour l'entraîneur

Les 6 groupes de 5 minutes : 1. Groupe 1 : [35, 40[ → 1 coureur (39 min) 2. Groupe 2 : [40, 45[ → 3 coureurs (41, 42, 43, 44) 3. Groupe 3 : [45, 50[ → 4 coureurs (46, 46, 47, 48, 49) 4. Groupe 4 : [50, 55[ → 5 coureurs (51, 51, 52, 53, 53) 5. Groupe 5 : [55, 60[ → 3 coureurs (59, 60) 6. Groupe 6 : [60, 70[ → 4 coureurs (61, 63, 66)

Analyse : La moitié des coureurs font entre 44 et 53 minutes (intervalle interquartile).

8. Application à d'autres contextes ivoiriens

Exemple : Revenus mensuels des ménages à Abidjan regroupés en classes, températures moyennes à Man par mois, production de cacao par région.